Question

16．如图，MN、PQ两条平行的光滑金属轨道与水平面成θ=30°角固定，M、P之间接可变电阻R，导轨所在空间存在垂直于轨道平面向上B=1T的匀强磁场，质量为m的金属杆ab垂直于MN、PQ放置在轨道上，其接入电路的电阻值为r．现从静止释放杆ab，杆最大速度v_m与可变电阻R的关系如图所示，已知轨距为L=1m，g=10m/s²，轨道足够长且电阻不计．求：
（1）当R=0时最大感应电动势E的大小和电流方向；
（2）金属杆的阻值r和质量m；
（3）若R=2Ω时，杆从静止下滑2m达到最大速度，则此过程R产生热量多大？

Answer 1

分析 （1）ab杆匀速下滑时速度最大，当R=0时，由乙图读出最大速度，由E=BLv求出感应电动势，由右手定则判断感应电流的方向；
（2）根据E=BLv、闭合电路的欧姆定律及平衡条件，推导出杆的最大速度v与R的表达式，结合图象的意义，求解杆的质量m和阻值r；
（3）根据动能定理求解克服安培力做的功，再根据功能关系求解产生的热量．

解答 解：（1）由图可知，当R=0 时，杆最终以v=2m/s匀速运动，产生电动势为：E=BLv=1×1×2V=2V
由右手定则判断得知，杆中电流方向从b→a；
（2）设最大速度为v，杆切割磁感线产生的感应电动势 E=BLv
由闭合电路的欧姆定律：$I=\frac{E}{R+r}$，
杆达到最大速度时满足：mgsinθ-BIL=0
解得：v=$\frac{mgsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$R+$\frac{mgsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$r
由图象可知：斜率为k=$\frac{4-2}{2}$=1m/（s•Ω），纵截距为v₀=2m/s，
得到：$\frac{mgsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$r=v₀，$\frac{mgsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}=k$，
解得：m=0.2kg，r=2Ω；
（3）根据题图可知，当R=2Ω时的最大速度为v_m=4m/s，设此过程中克服安培力做的功为W，
根据动能定理可得：mgsinθ•x-W=$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}-0$，
解得：W=0.4J，
根据功能关系可得Q=W=0.4J；
在R产生热量为Q_R=$\frac{R}{R+r}Q=\frac{2}{2+2}×0.4J=0.2J$．
答：（1）当R=0时最大感应电动势E的大小为2V；电流方向b→a；
（2）金属杆的阻值r为2Ω，质量m为0.2kg；
（3）若R=2Ω时，杆从静止下滑2m达到最大速度，则此过程R产生热量为0.2J．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，重点是分析安培力作用下导体棒的平衡问题，根据平衡条件列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解．