Question

3．用如图所示的浅色水平传送带AB和斜面BC将货物运送到斜面的顶端．AB距离L=11m，传送带始终以v=12m/s匀速顺时针运行．传送带B端靠近倾角θ=37°的斜面底端，斜面底端与传送带的B端之间有一段长度可以不计的小圆弧．在A、C处各有一个机器人，A处机器人每隔t=1.0s将一个质量m=10kg、底部有碳粉的货物箱（可视为质点）轻放在传送带A端，货物箱经传送带和斜面后到达斜面顶端的C点时速度恰好为零，C点处机器人立刻将货物箱搬走．已知斜面BC的长度s=5.0m，传送带与货物箱之间的动摩擦因数μ₀=0.55，货物箱由传送带的右端到斜面底端的过程中速度大小损失原来的$\frac{1}{11}$，不计传送带轮的大小，g=10m/s²（sin37°=0.6，cos37°=0.8）．求：
（1）斜面与货物箱之间的动摩擦因数μ；
（2）如果C点处的机器人操作失误，未能将第一个到达C点的货物箱搬走而造成与第二个货物箱在斜面上相撞．求两个货物箱在斜面上相撞的位置到C点的距离；  （本问结果可以用根式表示）
（3）从第一个货物箱放上传送带A端开始计时，在t₀=2s的时间内，货物箱在传送带上留下的痕迹长度．

Answer 1

分析 （1）货物箱在传送带上做匀加速运动过程，根据牛顿第二定律求出加速度，由速度位移关系公式求出货物箱运动到传送带右端时的速度大小，根据货物箱由传送带的右端到斜面底端的过程中速度大小损失原来的，得到货物箱刚冲上斜面时的速度．货物箱在斜面上向上运动过程中做匀减速运动，已知初速度、末速度为零，位移为s，由速度位移关系公式求出加速度大小，由牛顿第二定律求出斜面与货物箱之间的动摩擦因数μ．
（2）由运动学公式分别求出货物箱由A运动到B的时间和由B运动到C的时间，得到第一个货物箱冲上斜面C端时第二个货物箱刚好冲上斜面，然后货物箱沿斜面向下做匀加速运动，
由牛顿第二定律求出加速度，当第一个货物箱与第二个货物箱相遇时，两者位移大小之和等于斜面的长度s，由位移公式求出相遇时间，再求出两个货物箱在斜面上相遇的位置到C端的距离．
（3）根据位移公式求出第1s内货箱和传送带运动的位移，进而得出货箱第1s留下的痕迹，同理，再求出第2s内第一个货箱留下的痕迹，从而知道第一、二两个货箱由1m重合，
t₀=2s时，第二个货箱在传送带上运动了1s，留下的痕迹与第一个货箱留下的痕迹相等，最后求出2s内货物箱在传送带上留下的痕迹的总长度．

解答 解：（1）货物箱在传送带上做匀加速运动过程，
根据牛顿第二定律可得，μ₀mg=ma₀
解得：a₀=μ₀g=0.55×10m/s²=5.5m/s²，
由v₁²=2a₀L得，货物箱运动到传送带右端时的速度大小为
 v₁=$\sqrt{2{a}_{0}L}$=$\sqrt{2×5.5m/{s}^{2}×11m}$=11m/s＜v=12m/s，
说明货物箱在传送带上一直做匀加速运动．
货物箱刚冲上斜面时的速度v₂=（1-$\frac{1}{11}$）v₁=（1-$\frac{1}{11}$）×11m/s=10m/s，
货物箱在斜面上向上运动过程中，由v₂²=2a₁s得，货箱在斜面上的加速度：
解得：a₁=$\frac{{v}_{2}^{2}}{2s}$=$\frac{（10m/s）^{2}}{2×5m}$=10m/s²，
根据牛顿第二定律可得，mgsinθ+μmgcosθ=ma₁，
代入数据得：10kg×10m/s²×0.6+10kg×10m/s²×0.8=10kg×10m/s²，
解得：μ=0.5．                                     
（2）由v₁=a₀t₁得，货物箱由A运动到B的时间：
t₁=$\frac{{v}_{1}}{{a}_{0}}$=$\frac{11m/s}{5.5m/{s}^{2}}$=2s，
由v₂=a₁t₂得，由B运动到C的时间：
t₂=$\frac{{v}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{10m/s}{10m/{s}^{2}}$=1s，
可见第一个货物箱冲上斜面C端时第二个货物箱刚好冲上斜面．
货物箱沿斜面向下运动，根据牛顿第二定律有：mgsinθ-μmgcosθ=ma₂
则加速度大小a₂=gsinθ-μgcosθ=10m/s²×0.6-0.5×10m/s²×0.8=2.0m/s²，
设第一个货物箱在斜面C端沿斜面向下运动与第二个货物箱相撞的过程所用时间为t，
则有：v₂t-$\frac{1}{2}$a₁t²+$\frac{1}{2}$a₂t²=s，
代入数据得：10m/s×t-$\frac{1}{2}$×10m/s²×t²+-$\frac{1}{2}$×2.0m/s²×t²=5.0m，
解得：t=$\frac{5-\sqrt{5}}{4}$s，
两个货物箱在斜面上相遇的位置到C端的距离
s₁=$\frac{1}{2}$a₂t²=$\frac{1}{2}$×2.0m/s²×（$\frac{5-\sqrt{5}}{4}$s）²=$\frac{15-5\sqrt{5}}{8}$m．
（3）第1s内货箱运动的位移：
x₁=$\frac{1}{2}$a₀t²=$\frac{1}{2}$×5.5m/s²×（1s）²=2.75m．
传送带的位移：
x₂=vt=12m/s×1s=12m，
则第1s留下的痕迹：
d₁=x₂-x₁=12m-2.75m=9.25m，
所以t=1s时，第二个货箱轻放在第一个货箱后2.75m处，第一个货箱前9.25m有痕迹，
第2s内，对于第一个木箱有：v₀=a₀t=5.5m/s²×1s=5.5m/s，
x₁′=v₀t+$\frac{1}{2}$a₀t²=5.5m/s×1s+$\frac{1}{2}$×5.5m/s²×（1s）²=8.25m，
第一个货箱留下的痕迹：d₂=x₂-x₁′=12m-8.25m=3.75m，
所以第一、二两个货箱由1m重合，
t₀=2s时，第二个货箱在传送带上运动了1s，
留下的痕迹：d₃=d₁=9.25m，
故2s内，货物箱在传送带上留下的痕迹长度：
d=d₁+d₂+d₃-1m=9.25m+3.75m+9.25m-1m=21.25m．
答：（1）斜面与货物箱之间的动摩擦因数μ=0.5；
（2）两个货物箱在斜面上相撞的位置到C点的距离为0.48m；
（3）货物箱在传送带上留下的痕迹长度为21.25m．

点评 此题文字较多，首先要有耐心读题，该题涉及到相对运动的过程，要认真分析物体的受力情况和运动情况，对于传送带问题，关键是分析物体的运动情况，要边计算边分析，不能只定性分析．