Question

12．水平圆盘可绕竖直轴转动，在圆盘上沿半径方向放置质量均为m=1kg，均可视为质点的小物体A、B，它们到转轴的距离分别为r_A=20cm，r_B=40cm，而与圆盘间的最大静摩擦力均为其重力的0.4倍，重力加速度g取10m/s²．
（1）若A、B之间没有相连而如图甲所示，当使圆盘的转动角速度从零开始逐渐增大时，试判断：哪个物体先发生相对于圆盘的滑动，并求此时圆盘转动的角速度ω．
（2）若A、B之间用劲度系数为k=40N/m的轻弹簧相连而如图乙所示，且弹簧的压缩量为△x=2cm，则当圆盘处于静止时，试判断：B物所受静摩擦力的大小是多少？方向如何？
（3）在第（2）问的情况下使圆盘的转动角速度从零开始逐渐增大时，试判断：哪个物体所受到的静摩擦力先变为零，并求此时另一个物体所受的静摩擦力f的大小方向？

Answer 1

分析 （1）物体做匀速圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，当静摩擦力达到最大时即将滑动．根据离心运动的条件分析．并由牛顿第二定律求解角速度．
（2）根据平衡条件和胡克定律结合，求解B物所受静摩擦力的大小和方向．
（3）分析两个的受力情况，确定出向心力的来源，即可判断哪个物体所受到的静摩擦力先变为零，再由牛顿第二定律对两个物体列式，求解即可．

解答 解：（1）物体做匀速圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，据题知它们的最大静摩擦力大小相等．所需要的向心力为 F_n=mrω²，m、ω相等，r_A＜r_B，所以B的静摩擦力先达到最大，先发生相对于圆盘的滑动．以B为研究对象，由牛顿第二定律得：0.4mg=mr_Bω²，
解得：ω=$\sqrt{10}$rad/s
（2）当圆盘处于静止时，根据平衡条件得：B物所受静摩擦力的大小为：
f=F=k△x=40×0.02N=0.8N，方向沿0B方向．
（3）使圆盘的转动角速度从零开始逐渐增大时，A物由静摩擦力和弹簧的弹力的合力充当向心力，这两个力方向均指向圆心，B物由弹簧的弹力和弹簧的弹力的合力充当向心力，弹力离开圆心，静摩擦力指向圆心，则知角速度从零开始逐渐增大时，A物体所受到的静摩擦力先变为零．
对A物，有：k△x=mr_Aω′²；
对B物，有：f-k△x=mr_Bω′²；
联立解得：f=0.24N，方向指向圆心O
答：（1）物体B先发生相对于圆盘的滑动，此时圆盘转动的角速度ω是$\sqrt{10}$rad/s．
（2）当圆盘处于静止时，B物所受静摩擦力的大小是0.8N，方向沿0B方向．
（3）物体A所受到的静摩擦力先变为零，此时物体B所受的静摩擦力f的大小为0.24N，方向指向圆心O．

点评 本题考查圆周运动中力与运动的关系，注意本题中为静摩擦力与弹簧的弹力的合力充当向心力，应注意静摩擦力是否已达到最大静摩擦力．