Question

16．如图，“蜗牛状”轨道OAB竖直固定，其最低点与平板车左端平滑对接，平板车静止在光滑水平面上．其中，“蜗牛状”轨道由内壁光滑的两个半圆轨道OA、AB平滑连接而成，轨道OA的半径R=0.6m，其下端O刚好是轨道AB的圆心．将一质量为m=0.5kg的小球从O点沿切线方向以某一初速度进入轨道OA后，可沿OAB轨道运动滑上平板车．取g=10m/s²．
（1）若因受机械强度的限制，“蜗牛状”轨道AB段各处能承受最大挤压力为F_m=65N，则在保证轨道不受损情况下，该轨道最低点B处速度传感器显示速度范围如何？
（2）设平板车质量为M=2kg，平板车长度为L=2m，小球与平板车上表面动摩擦因数μ=0.5．现换用不同质量m的小球，以初速度v₀=$\sqrt{76}$m/s从O点射入轨道，试讨论小球质量在不同取值范围内，系统因摩擦而相应产生的热量Q．

Answer 1

分析 根据牛顿第二定律和动能定理求解小球到达最低点的最小速度和最大速度；
若小球质量m≥4M，则小球将最终从小车右端滑离平板车，若小球质量m＜4M，则小球将最终与小车达到共速，根据能量守恒求解．

解答 解：（1）要使小球刚好能通过圆弧最高点，则$mg=m\frac{v_A^2}{2R}$，得：${v_A}=\sqrt{12}$m/s
从A点到B过程中，有：$\frac{1}{2}mv_{B1}^2-\frac{1}{2}mv_A^2=mg•4R$，
代入数据得：${v_{B1}}=\sqrt{60}$m/s
当轨道最低点对小球支持力最大时，小球到达最低点速度最大，根据牛顿第二定律有：
$N-mg=m\frac{{v_{B2}^2}}{2R}$，
代入数据得：v_B2=12m/s
故B处速度传感器显示数值范围为$\sqrt{60}$m/s≤v_B≤12m/s
（2）假若小球刚好滑行到小车右端与小车相对静止，则有：m₀v_B=（m₀+M）u
$\frac{1}{2}{m_0}v_B^2=\frac{1}{2}（{m_0}+M）{u^2}+μ{m_0}gL$，
代入数据得：m₀=4M
①若小球质量m＜4M，则小球将最终从小车右端滑离平板车．则有：Q=μmgL，
即：Q=10m
②若小球质量m≥4M，则小球将最终与小车达到共速．则根据动量守恒定律：mv_B=（m+M）u，
得：$u=\frac{10m}{m+M}$
能量守恒：$\frac{1}{2}mv_B^2=\frac{1}{2}（m+M）{u^2}+Q$，
得：$Q=\frac{100m}{m+2}$
答：（1）该轨道最低点B处速度传感器显示速度范围为$\sqrt{60}$m/s≤v_B≤12m/s；
（2）系统因摩擦而相应产生的热量Q为  10m或$\frac{100m}{m+2}$．

点评 本题运用程序法进行分析．综合运用了动量守恒定律，牛顿第二定律、功能关系，综合性较大，难度较大．