Question

17．翼型飞行器有很好的飞行性能．其原理是通过对降落伞的调节，使空气升力和空气阻力都受到影响．同时通过控制动力的大小而改变飞行器的飞行状态．已知：飞行器的动力F始终与飞行方向相同，空气升力F₁与飞行方向垂直，大小与速度的平方成正比，即F₁=C₁v²；空气阻力F₂与飞行方向相反，大小与速度的平方成正比，即F₂=C₂v²．其中C₁、C₂相互影响，可由运动员调节，满足如图1所示的关系．飞行员和装备的总质量为90kg．（重力加速度取g=10m/s²）

（1）若飞行员使飞行器以v₁=10$\sqrt{3}$m/s速度在空中沿水平方向匀速飞行，如图2（a）所示．则飞行器受到动力F大小为多少？
（2）若飞行员关闭飞行器的动力，使飞行器匀速滑行，且滑行速度v₂与地平线的夹角θ=30°，如图2（b）所示，则速度v₂的大小为多少？（结果可用根式表示）
（3）若飞行员使飞行器在空中的某一水平面内做匀速圆周运动，如图2（c）所示，在此过程中C₂只能在1.75～2.5N s²/m²之间调节，且C₁、C₂的大小与飞行器的倾斜程度无关．则飞行器绕行一周动力F做功的最小值为多少？（结果可保留π）

Answer 1

分析 （1）物体做直线运动的条件是所受的合力方向与速度方向在一条直线上，根据运动员和翼型伞的受力情况进行判断；
（2）由①位置的受力分析，匀速运动时对重力进行分解，根据平衡条件求解；
（3）竖直方向匀速运动，水平方向做圆周运动，根据力的做功表达式，结合前面条件，即可求解．

解答 解：（1）由受力分析可知：$mg={C_1}v_1^2$
得：${C_1}=3N•{s^2}/{m^2}$，
由C_l、C₂关系图象可得：C₂=2.5N．s²/m²
动力$F={F_2}={C_2}v_1^2$
所以：F=750N
（2）由受力分析可知：$mgcosθ={C_1}v_2^2$
$mgsinθ={C_2}v_2^2$，
C₁=C₂cotθ
在图3中过原点作直线正确得到直线与曲线的交点．
${C_2}=2.3N．{s^2}/{m^2}$，
${C_1}=4N．{s^2}/{m^2}$，
得：v₂=$\sqrt{195}m/s$
（3）设此时飞行器飞行速率为v，圆周运动的半径为R，F₁与竖直方向夹角为α，则有：
竖直方向合力为零，有：$mg={C_1}{v^2}cosα$
水平方向合力提供向心力为：${C_1}{v^2}sinα=\frac{{m{v^2}}}{R}$
动力：$F={F_2}={C_2}{v^2}$
绕行一周动力做的功为：$W=F•2πR=\frac{{2π{C_2}{m^2}g}}{C_1^2sinα．cosα}$
当${C_2}\stackrel{•}=1.75N•{s^2}/{m^2}$，${C_1}=6N•{s^2}/{m^2}$，
α=45°时，W有最小值，有：W_min=49455J
答：（1）则飞行器受到动力F大小为750N；
（2）则速度v₂的大小为为$\sqrt{195}m/s$；
（3）则飞行器绕行一周动力F做功的最小值为49455J．

点评 本题有一定的难度，能正确的理解题目所提示的信息，并有一定的数据解读能力是解决该题的关键．