Question

7．质量为m、边长为L的正方形导体框，从有界的匀强磁场上方由静止自由下落，线框每边电阻为R，匀强磁场的宽度为H．（L＜H），磁感应强度为B，方向垂直于纸面向内．线框下落过程中ab边与磁场边界平行且沿水平方向．已知ab边刚进入磁场时和刚穿出磁场时线框都做减速运动，加速度大小都为$\frac{1}{3}$g．求：
（1）ab边刚进入磁场时ab边的电势差U_ab；
（2）cd边刚进入磁场时的速度；
（3）线框进入磁场的过程中，ab边的热发量．

Answer 1

分析 （1）ab边刚进入磁场时磁场时线框做减速运动，已知加速度，根据牛顿第二定律和安培力与速度的关系式，可求出此时线框的速度，由E=BLv求得感应电动势，再得到ab边的电势差U_ab；
（2）cd边进入磁场后到ab边刚穿出磁场过程，线框的磁通量不变，没有感应电流产生，不受安培力而匀加速运动，由运动学公式求出cd边刚进入磁场时线框的速度；
（3）从线框开始下落到整个线框全部穿出磁场的过程，线框的重力势能减小转化为线框的动能和电路的内能，由能量守恒定律求解焦耳热．

解答 解：（1）设ab边刚进入磁场时和ab边刚出磁场时线框的速度为v，由牛顿第二定律可得：
  $\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$-mg=m•$\frac{1}{3}$g
解得：v=$\frac{4mgR}{3{B}^{2}{L}^{2}}$
ab边刚进入磁场时ab边产生的感应电动势 E=BLv
由右手定则知a点的电势低于b点的电势，则ab边的电势差U_ab=-$\frac{3}{4}$E
联立得：U_ab=-$\frac{mgR}{BL}$
（2）设cd边刚进入磁场时线框的速度大小为v′，考察从cd边刚进入磁场到ab边刚出磁场的过程，由运动学公式可得：
 v²-v′²=2g（H-L）
解得：v′=$\sqrt{\frac{16{m}^{2}{g}^{2}{R}^{2}}{9{B}^{4}{L}^{4}}-2g（H-L）}$
（3）线框进入磁场的过程中，由能量守恒可得：
 mgL+$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv′²=Q               
解得：Q=mgL+mg（H-L）=mgH
所以ab边的热发量为 Q′=$\frac{1}{4}$Q=$\frac{1}{4}$mgH
答：
（1）ab边的电势差为-$\frac{mgR}{BL}$；
（2）cd边刚进入磁场时，线框的速度大小为$\sqrt{\frac{16{m}^{2}{g}^{2}{R}^{2}}{9{B}^{4}{L}^{4}}-2g（H-L）}$；
（3）线框进入磁场的过程中，ab边产生的热量为$\frac{1}{4}$mgH．

点评 本题首先要正确分析线框的运动情况，会推导安培力的表达式，把握能量是如何转化的．