Question

16．如图所示，用长为R的不可伸长的轻绳将质量为$\frac{m}{3}$的小球A悬挂于O点，在光滑的水平地面上，质量为m的小物块B（可视为质点）置于长木板C的左端静止，将小球A拉起，使轻绳水平拉直，将A球由静止释放，运动到最低点时与B发生弹性正碰．
（1）求碰后轻绳与竖直方向的最大夹角θ的余弦；
（2）若长木板C的质量为2m，B与C间的动摩擦因数为μ，求C的长度至少为多大时B才不会从C的上表面滑出？

Answer 1

分析 （1）A下落过程机械能守恒，B、A碰撞过程动量守恒，应用机械能守恒定律与动量守恒定律可以求出速度，然后由机械能守恒求出碰后轻绳与竖直方向的最大夹角θ的余弦．
（2）B、C系统动量守恒，应用动量守恒定律与能量守恒定律可以求出木板的长度．

解答 解：（1）A从开始下落到与B碰撞前过程机械能守恒，由械能守恒定律得：
$\frac{1}{3}$mgR=$\frac{1}{2}$$•\frac{1}{3}$mv₀²，
小球与B碰撞过程中动量和机械能均守恒，取向右为正方向，由动量守恒定律得：
$\frac{1}{3}$mv₀=$\frac{1}{3}$mv₁+mv₂，
由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$$•\frac{1}{3}$mv₀²=$\frac{1}{2}$$•\frac{1}{3}$mv₁²+$\frac{1}{2}$mv₂²，
联立并代入数据解得：v₁=$-\frac{1}{2}\sqrt{2gR}$，v₂=$\frac{1}{2}\sqrt{2gR}$s；
设碰撞后A上升的最大高度为H，则：$\frac{m}{3}gH=\frac{1}{2}•\frac{m}{3}{v}_{1}^{2}$
又：$cosθ=\frac{R-H}{R}$
联立得：$cosθ=\frac{3}{4}$                                        
（2）B在木板A上滑动过程，系统动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得：
mv₂=（m+2m）v，
B在木板A上滑动的过程中，由能量守恒定律得：
μmgL=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$（m+M）v²，
联立并代入数据解得：L=$\frac{R}{6μ}$；
答：（1）求碰后轻绳与竖直方向的最大夹角θ的余弦是$\frac{3}{4}$；
（2）若长木板C的质量为2m，B与C间的动摩擦因数为μ，C的长度至少为$\frac{R}{6μ}$时B才不会从C的上表面滑出．

点评 本题考查了求速度与板长问题，考查了动量守恒定律的应用；分析清楚物体运动过程是解题的前提与关键，应用动量守恒定律、机械能守恒定律与能量守恒定律可以解题．弹性碰撞过程遵守两大守恒：动量定律和机械能守恒，质量相等的两球发生弹性碰后会交换速度．