Question

8．如图所示，绷紧的传送带在电动机带动下，始终保持v₀=4m/s的速度匀速运行，传送带与水平地面的夹角θ=30°，现把一质量m=10kg的工件轻轻地放在传送带底端，由传送带送至h=2m的高处．已知工件与传送带间动摩擦因数μ=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，g取10m/s²．
（1）试通过计算分析工件在传送带上做怎样的运动？
（2）工件从传送带底端运动至高h=2m处的过程中摩擦力对工件做了多少功？
（3）在运送工件过程中，电动机多消耗的电能．

Answer 1

分析 （1）假设工件一直做匀加速运动，结合动能定理求出最高点的速度，与传送带速度比较，得出工件在传送带上的运动规律．
（2）根据动能定理求出摩擦力对工件做功的大小．
（3）根据能量守恒定律求出电动机多消耗的电能．

解答 解：（1）假设工件在传送带上一直做匀加速运动，末速度为v．
根据动能定理：$μmgcosθ×\frac{h}{sinθ}-mgh=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
代入数据解得：$v=\sqrt{20}m/s＞{v}_{0}$
所以假设不成立，即工件在传送带上先匀加速，再匀速运动．
（2）工件最后随传送带做匀速运动，末速为v₀，
根据动能定理：${W}_{f}-mgh=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，
代入数据解得：W_f=280J
（3）根据能量守恒得，$△E=Q+mgh+\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，
上滑的加速度$a=μgcosθ-gsinθ=\frac{\sqrt{3}}{2}×10×\frac{\sqrt{3}}{2}-5$m/s²=2.5m/s²，
则相对滑动的位移$△x={v}_{0}t-\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2a}=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2a}=\frac{16}{5}m=3.2m$，
则$△E=μmgcosθ•△x+\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}+mgh$，
代入数据解得△E=520J．
答：（1）工件先做匀加速运动，再做匀速运动．
（2）摩擦力对工件做了280J的功．
（3）电动机多消耗的电能为520J．

点评 本题的解题关键是根据受力情况分析工件的运动情况，再由牛顿第二定律和运动学公式结合求解位移，即可轻松求出功．第二问也可以直接应用动能定理，方法更简捷．