Question

7．如图所示，在平面内，有一电子源持续不断地沿x正方向每秒发射出N个速率均为v的电子，形成宽为2b，在y轴方向均匀分布且关于x轴对称的电子流．电子流沿x方向射入一个半径为R，中心位于原点O的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直xoy平面向里，电子经过磁场偏转后均从P点射出．在磁场区域的正下方有一对平行于x轴的金属平行板K和A，K板接地，A与K两板间加有正负、大小均可调的电压U_AK，穿过K板小孔达到A板的电子被收集且导出，从而形成电流，已知b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，电子质量为m，电荷量为e，忽略电子间相互作用．
（1）磁感应强度B的大小；
（2）电子流从P点射出时与y轴负方向的夹角θ的范围；
（3）电子被收集形成最大电流I_m；
（4）调节A与K两级板间的电压刚好不能形成电流，此时可调的电压U_AK大小．

Answer 1

分析 （1）电子在磁场中做匀速圆周运动洛伦兹力提供向心力，应用牛顿第二定律可以求出磁感应强度．
（2）求出电子从P点射出时与负y轴方向的夹角极限值，然后确定其范围．
（3）求出进入小孔的电子偏角，然后求出每秒经过极板K上的小孔到达板A的电子数再根据电流强度的计算公式求解电流强度．
（4）由动能定理求出遏制电压．

解答 解：（1）粒子源沿x轴正方向射出的粒子经圆形磁场区域偏转后均从P点射出，那么可以设想从x轴上沿x轴正方向射入磁场的粒子也从P点射出，显然该粒子的轨道半径与磁场区域的半径相等，偏转角为90°，说明电子做圆周运动的轨道半径：r=R，
电子在磁场中做匀速圆周运动洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：evB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：B=$\frac{mv}{eR}$；
（2）上端电子从P点射出时与负y轴最大夹角θ_m，如图所示，

由几何关系可得sinθ_m=$\frac{b}{R}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以得：θ_m=60°．
同理下端电子从P点射出时与负y轴最大夹角也为60°，范围是-60°≤θ≤60°；
（3）进入小孔的电子偏角正切值：tanα=$\frac{l}{d}$=1，
解得：α=45°，
则：y′=Rsinα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$R，
设每秒进入两极板间的电子数为n，则：
$\frac{n}{N}=\frac{y′}{b}=\frac{\sqrt{6}}{3}$=0.82，
解得：n=0.82N；
电子被收集形成最大电流I_m=$\frac{ne}{t}$=ne=0.82eN；
（4）只要竖直向下的电子达不到A板，其它电子一定达不到，此时的电压大小为U_AK，
根据动能定理可得：eU_AK=0-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
解得：U_AK=-$\frac{m{v}^{2}}{2e}$．下极板带负电．
答：（1）磁感应强度B的大小为$\frac{mv}{eR}$；
（2）电子流从P点射出时与负y轴方向的夹角θ的范围是-60°≤θ≤60°；
（3）电子被收集形成最大电流为0.82eN；
（4）调节A与K两级板间的电压刚好不能形成电流，此时可调的电压U_AK大小为-$\frac{m{v}^{2}}{2e}$．

点评 本题考查了电子在磁场与电场中的运动，分析清楚电子运动过程、作出电子运动轨迹、求出电子在磁场中做圆周运动的轨道半径是解题的关键，解题时注意求出极限值然后再确定范围．