Question

8．如图所示，一根轻绳上端固定在 O 点，下端拴一个重为 G 的钢球 A，球处于静止状态．现对球施加一个方向水平向右的外力 F，使球缓慢地偏移，在移动过程中的每一时刻，都可以认为球处于平衡状态，外力F方向始终水平向右，最大值为2G．试分析：
（1）在直角坐标系中画出描述上述物理过程的张力T与偏角θ的（$\frac{1}{cosθ}$）的关系图象．
（2）由图示位置撒去外力F（轻绳与竖直方向夹角为θ）无初速释放小球，求当小球通过最低点时的速度大小及轻绳对小球的拉力．不计空气阻力，轻绳长设为L．

Answer 1

分析 （1）当水平拉力F=0时，轻绳处于竖直位置时，绳子张力最小，当水平拉力F=2G时，绳子张力最大，根据平衡条件列方程求解T的范围，钢球始终处于平衡状态，对钢球进行受力分析，钢球受重力G、绳子拉力T和外力F三力作用下平衡，依据平衡条件列方程找出T与θ的函数关系，进而画出图象；
（2）小球从释放到最低点的过程中，根据动能定理求解速度，在最低点，根据牛顿第二定律求解绳子拉力．

解答 解：（1）当水平拉力F=0时，轻绳处于竖直位置时，绳子张力最小T₁=G
当水平拉力F=2G时，绳子张力最大${T}_{2}=\sqrt{{G}^{2}+（2G）^{2}}=\sqrt{5}G$
因此轻绳的张力范围是：G≤T≤$\sqrt{5}G$
设在某位置球处于平衡位置，受力如图所示：

由平衡条件得
Tcosθ=G
所以$T=\frac{G}{cosθ}$
得图象如图所示．

（2）小球从释放到最低点的过程中，根据动能定理得：
$\frac{1}{2}m{v}^{2}=mgL（1-cosθ）$，
解得：v=$\sqrt{2gL（1-cosθ）}$
在最低点，根据牛顿第二定律得：
$T-mg=m\frac{{v}^{2}}{L}$
解得：T=mg+2（1-cosθ）mg=（3-2cosθ）mg
答：（1）在直角坐标系中画出描述上述物理过程的张力T与偏角θ的（$\frac{1}{cosθ}$）的关系图象，如图所示．
（2）当小球通过最低点时的速度大小为$\sqrt{2gL（1-cosθ）}$，轻绳对小球的拉力为（3-2cosθ）mg．

点评 此题不仅对平衡条件能熟练的应用，还要能根据平衡条件能找出力随角度变化的关系．属于中档题，有一定的难度．