题目内容
如图所示自上而下分为Ⅰ、Ⅱ二个区域，在Ⅰ、Ⅱ中分布有垂直纸面向里的匀强磁场，区域Ⅰ宽度为d，区域Ⅱ中还分布有沿纸面竖直向上的匀强电场．现有一质量为m，电量为q的尘粒，从区域Ⅰ上边缘的S处由静止开始运动，然后以与界面成α角的方向从S1处进入Ⅱ区域，尘粒在Ⅱ区域中刚好做匀速圆周运动，最后通过S2回到Ⅰ区域，已知S1到S2的距离为L，重力加速度为g．求：（1）该尘粒在进入Ⅱ区域时的速率
（2）匀强电场的电场强度和匀强磁场的磁感应强度的大小
（3）欲使微粒能进入Ⅱ区域，区域Ⅰ宽度d应满足的条件．
分析：（1）尘粒从S到S1过程，受到重力和洛伦兹力，只有重力做功，根据动能定理求出尘粒在进入Ⅱ区域时的速率．
（2）尘粒在Ⅱ区域中做匀速圆周运动，重力与电场力平衡，由洛伦兹力提供向心力，由平衡条件求出电场强度．根据几何知识求出半径，由牛顿定律求出磁感应强度．
（3）使微粒恰好能进入Ⅱ区域时，速度v与Ⅰ、Ⅱ界面平行．将尘粒在磁场Ⅰ中的运动分解为水平方向和竖直方向，研究水平方向，牛顿第二定律列出方程，采用积分法求出区域Ⅰ的宽度，得到d满足的条件．
（2）尘粒在Ⅱ区域中做匀速圆周运动，重力与电场力平衡，由洛伦兹力提供向心力，由平衡条件求出电场强度．根据几何知识求出半径，由牛顿定律求出磁感应强度．
（3）使微粒恰好能进入Ⅱ区域时，速度v与Ⅰ、Ⅱ界面平行．将尘粒在磁场Ⅰ中的运动分解为水平方向和竖直方向，研究水平方向，牛顿第二定律列出方程，采用积分法求出区域Ⅰ的宽度，得到d满足的条件．
解答：
解：（1）尘粒在磁场Ⅰ中运动时，根据动能定理，得
mgd=
mv2，得到v=
（2）尘粒在Ⅱ区域中做匀速圆周运动，则有mg=qE
得到E=
，方向竖直向上，说明尘粒带正电．
根据几何知识求出尘粒匀速圆周运动的半径R=
由牛顿第二定律，得qvB=m
，代入解得
B=
（3）尘粒在磁场Ⅰ中运动时，受到重力和洛伦兹力，将尘粒的运动分解为水平和竖直两个方向，将洛伦兹力也分解为水平和竖直两个方向．
如图．
对水平方向用牛顿第二定律，得
Fx=max
qvyB=max=m
则有qvyB△t=m△vx
∑qvyB△t=∑m△vx
得到qBy=mv
由题微粒恰好能进入Ⅱ区域时，则速度v与Ⅰ、Ⅱ界面平行
由动能定理，得mgy=
mv2
代入解得y=
故欲使微粒能进入Ⅱ区域，区域Ⅰ宽度d应满足的条件d＜
．
答：（1）该尘粒在进入Ⅱ区域时的速率为
．
（2）匀强电场的电场强度和匀强磁场的磁感应强度的大小为
．
（3）欲使微粒能进入Ⅱ区域，区域Ⅰ宽度d应满足的条件是d＜
．
解：（1）尘粒在磁场Ⅰ中运动时，根据动能定理，得mgd=
| 1 |
| 2 |
| 2gd |
（2）尘粒在Ⅱ区域中做匀速圆周运动，则有mg=qE
得到E=
| mg |
| q |
根据几何知识求出尘粒匀速圆周运动的半径R=
| L |
| 2sinα |
由牛顿第二定律，得qvB=m
| v2 |
| R |
B=
2m
| ||
| qL |
（3）尘粒在磁场Ⅰ中运动时，受到重力和洛伦兹力，将尘粒的运动分解为水平和竖直两个方向，将洛伦兹力也分解为水平和竖直两个方向．
如图．
对水平方向用牛顿第二定律，得
Fx=max
qvyB=max=m
| △vx |
| △t |
则有qvyB△t=m△vx
∑qvyB△t=∑m△vx
得到qBy=mv
由题微粒恰好能进入Ⅱ区域时，则速度v与Ⅰ、Ⅱ界面平行
由动能定理，得mgy=
| 1 |
| 2 |
代入解得y=
| 2m2g |
| B2q |
故欲使微粒能进入Ⅱ区域，区域Ⅰ宽度d应满足的条件d＜
| 2m2g |
| B2q |
答：（1）该尘粒在进入Ⅱ区域时的速率为
| 2gd |
（2）匀强电场的电场强度和匀强磁场的磁感应强度的大小为
2m
| ||
| qL |
（3）欲使微粒能进入Ⅱ区域，区域Ⅰ宽度d应满足的条件是d＜
| 2m2g |
| B2q |
点评：本题第（1）、（2）小问是常规题，难点在第（3）问，根据运动的分解，运用积分法求解非变速运动的位移．这也是常用的方法．
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