Question

2．宇宙空间存在两颗质量分布均匀的球形未知星球，经过发射绕表面运行的卫星发现，两个星球的近地卫星周期相等，同学们据此作出如下判断，则下列说法正确的是（　　）

• A． 这两个未知星球的体积一定相等
• B． 这两个未知星球的质量一定相等
• C． 若这两个未知星球的质量不等，则表面的重力加速度一定不等
• D． 这两个未知星球质量大的，表面的重力加速度小

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力得出天体质量与周期的关系，结合体积求出密度，判断密度是否相同．根据万有引力等于重力求出重力加速度，判断是否相等

解答 解：AB、根据$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$，得$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$，则星球的密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}}=\frac{3π}{G{T}_{\;}^{2}}$，因为这两个星球的近地卫星周期相等，则两个未知星球的密度一定相等，由于半径不一定相等，体积不一定相等，质量不一定相等，故AB不一定相等；
CD、根据$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$得$g=G\frac{M}{{R}_{\;}^{2}}=G\frac{ρ•\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}}{{R}_{\;}^{2}}=\frac{4}{3}πρGR$∝R，半径大的，体积大，质量大，重力加速度大，故C正确，D错误
故选：C

点评 解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力等于重力，2、万有引力提供向心力，并能灵活运用．