Question

9．如图，一个截面积为2S、盛有足够深的水的圆柱形容器放a在水平面上，容器内有一个活塞将水和一部分空气封闭，活塞能沿容器壁无摩擦滑动而不漏气．容器内水面上漂浮着一只倒扣的、薄壁圆柱形杯（杯的厚度可以忽略），其截面积为S，杯内封闭着一部分气体．当活塞与容器中杯外水面距离为H时，杯底与容器内的水面高度差为h，此时杯内气柱的高度为2h，压强与2h的水柱形成的压强相等．将活塞向下移动，使得杯底恰好与容器内的水面相平时，杯内、外水面高度均不变，杯内气柱的高度变为h，求活塞向下移动的距离x．（整个过程温度不变）

Answer 1

分析 杯内的气体和容器中的气体温度不变，分别运用玻意耳定律列方程，即可求出活塞向下移动的距离．

解答 解：设杯外气体压强为${p}_{1}^{\;}$，杯内气体压强为${p}_{2}^{\;}$
${p}_{1}^{\;}+ρgh={p}_{2}^{\;}$①
根据题意有：${p}_{2}^{\;}=2ρgh$②
解得${p}_{1}^{\;}=ρgh$
对杯子，受力分析有：${p}_{2}^{\;}S=mg+{p}_{1}^{\;}S$③
联立得ρghS=mg
对杯子内外气体压力差不变，${p}_{1}^{′}+ρgh={p}_{2}^{′}$④
杯内气体体积变为原来的一半，根据玻意耳定律，有${p}_{2}^{\;}•2hS={p}_{2}^{′}hS$⑤
得${p}_{2}^{′}=2{p}_{2}^{\;}=4ρgh$⑥
${p}_{1}^{′}=3ρgh$=$3{p}_{1}^{\;}$⑦
对杯外气体，原来的压强为${p}_{1}^{\;}$
根据玻意耳定律知，体积为原来的$\frac{1}{3}$
原来体积H•2S-Sh
后来体积：（H-x）•2S
$（H-x）•2S=\frac{1}{3}（H•2S-Sh）$
解得：x=$\frac{4H+h}{6}$
答：活塞向下移动的距离x为$\frac{4H+h}{6}$

点评 本题考查玻意耳定律的应用和气体压强的计算，解题时要注意两部分气体压强之间的关系，结合一定的几何关系求体积．