Question

1．如图所示，在长为L的轻杆中点A和端点B各固定一质量为m的小球（可看做质点），杆可绕无摩擦的轴O转动，使杆从水平位置无初速度释放摆下，重力加速度为g．当杆转到竖直位置时：
求：（1）A、B两球的速度各是多大？
（2）OA段轻杆对A球及AB段轻杆对B球的拉力各是多大？
（3）该过程中轻杆对A、B两球分别做了多少功？

Answer 1

分析 对A、B两球组成的系统，在运动的过程中只有重力做功，系统机械能守恒，抓住A、B的角速度相等，根据A、B的速度关系，利用系统机械能守恒定律求出A、B两球的速度，再根据动能定理分别求出轻杆对A、B两球分别做的功．

解答 解：（1）设当杆转到竖直位置时，A球和B球的速度分别为v_A和v_B．如果把轻杆、两球组成的系统作为研究对象，系统机械能守恒．若取B的最低点为重力势能参考平面，根据△E_减=△E_增
可得：mgL$+\frac{1}{2}$mgL=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{A}^{2}$+$\frac{1}{2}$mv${\;}_{B}^{2}$                   
又因A球与B球在各个时刻对应的角速度相同，故v_B=2v_A
由以上二式得：v_A=$\sqrt{\frac{3gL}{5}}$，v_B=$\sqrt{\frac{12gL}{5}}$．
（2）对B球：根据牛顿第二定律有：F₁-mg=$\frac{m{v}_{B}^{2}}{L}$
解得：F₁=$\frac{17}{5}$mg
对A球：F₂-F₁-mg=m$\frac{{v}_{{\;}_{A}^{2}}}{\frac{1}{2}L}$
解得：F₂=$\frac{28}{5}$mg
（3）根据动能定理，可解出杆对A、B做的功．
对A有：W_A+mg$\frac{L}{2}$=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{A}^{2}$，
所以W_A=-0.2mgL．
对B有：W_B+mgL=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{B}^{2}$-0，
所以得：W_B=0.2mgL．
答：（1）A、B两球的速度分别为：v_A=$\sqrt{\frac{3gL}{5}}$，v_B=$\sqrt{\frac{12gL}{5}}$．
（2）OA段轻杆对A球及AB段轻杆对B球的拉力各是$\frac{17}{5}$mg，$\frac{28}{5}$mg；
（3）该过程中轻杆对A、B两球分别做了功为-0.2mgL，0.2mgL．

点评 解决本题的关键知道A、B两球在运动的过程中，系统机械能守恒，因为杆子做功为变力做功，只能求出A、B的速度，根据动能定理求出杆子的做功