题目内容
4．
在如图所示xoy坐标系第一象限的三角形区域（坐标如图中所标注）内有垂直于纸面向外的匀强磁场，在x轴下方有沿+y方向的匀强电场，电场强度为E．将一个质量为m、带电量为+q的粒子（重力不计）从P（0，-a）点由静止释放．由于x轴上存在一种特殊物质，使粒子每经过一次x轴后速度大小变为穿过前的$\frac{\sqrt{2}}{2}$倍．（1）欲使粒子能够再次经过x轴，磁场的磁感应强度B0最小是多少？
（2）在磁感应强度等于第（1）问中B0的情况下，求粒子在磁场中的运动时间；
（3）若磁场的磁感应强度变为第（1）问中B0的2倍，求粒子运动的总路程．
分析 （1）粒子进入磁场后的轨迹圆与磁场边界相切时，磁感应强度最小为B0．由几何知识求出半径，然后由牛顿第二定律确定磁场强度；
（2）画出粒子的运动轨迹，由t=$\frac{θ}{2π}$T求运动时间之和；
（3）由数学归纳法求出当粒子第n次进入磁场时，其在磁场中做圆周运动的轨道半径和前进的路程的表达式，然后由等比数列的求和公式求出总路程．
解答 解：（1）设粒子到O点时的速度为v0，由动能定理有：
qEa=$\frac{1}{2}$mv02
解得：v0=$\sqrt{\frac{2qEa}{m}}$
粒子经过O点后，速度为v1，v1=$\frac{\sqrt{2}}{2}$v0=$\sqrt{\frac{qEa}{m}}$
如图甲所示，粒子进入磁场后的轨迹圆与磁场边界相切时，磁感应强度最小为B0．设粒子轨道半径为R1，有：
R1=$\sqrt{3}$atan30°=a
由：qB0v1=m$\frac{{{v}_{1}}^{2}}{{R}_{1}}$
得：B0=$\frac{m{v}_{1}}{q{R}_{1}}$=$\sqrt{\frac{mE}{qa}}$
（2）如图甲，粒子经O1点进入电场区域做匀减速运动，后又加速返回，再次进入磁场时的速率v2=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）2v1=$\frac{1}{2}$v1
此时粒子做圆周运动的半径：R2=$\frac{1}{2}$R1=$\frac{1}{2}$a
其运动轨迹如图甲所示，此后不再进入磁场．由几何关系可知，∠MO1′O1=60°
则粒子在磁场中运动的时间为：t=$\frac{{T}_{1}}{2}$+$\frac{{T}_{1}}{6}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{2π{R}_{1}}{{v}_{1}}$+$\frac{1}{6}$•$\frac{2π{R}_{x}}{{v}_{x}}$=$\frac{4π}{3}$$\sqrt{\frac{ma}{qE}}$
（3）若B=2B0，粒子的运动情况如图乙所示，
粒子经过O点第一次进入磁场时的速率仍为v1，在磁场中做圆周运动的半径记为R1′，由第（1）问可知，v1=$\sqrt{\frac{qEa}{m}}$，R1′=$\frac{a}{2}$
粒子从O1点穿过x轴进入电场时速率为v1′=$\frac{\sqrt{2}}{2}$v1=$\sqrt{\frac{qEa}{2m}}$，运动到P1点后返回，则由动能定理：
-qE$\overline{{O}_{1}{P}_{1}}$=0-$\frac{1}{2}$mv1′2
解得：$\overline{{O}_{1}{P}_{1}}$=$\frac{a}{4}$
当粒子第二次进入磁场时的速率：v2=$\frac{\sqrt{2}}{2}$v1′=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{qEa}{m}}$=$\frac{1}{2}{v}_{1}$
做圆周运动的半径为：R2′=$\frac{a}{4}$
粒子从O2点穿过x轴进入电场时速率为：v2′=$\frac{\sqrt{2}}{2}$v2=$\sqrt{\frac{qEa}{8m}}$，
运动到P2点后返回，则由动能定理：-qE$\overline{{O}_{2}{P}_{2}}$=0-$\frac{1}{2}$mv2′2
解得：$\overline{{O}_{2}{P}_{2}}$=$\frac{a}{16}$
依此类推可知，当粒子第n次进入磁场时，其在磁场中做圆周运动的轨道半径为Rn′=$\frac{a}{{2}^{n}}$，再进入电场中前进的距离$\overline{{O}_{n}{P}_{n}}$=$\frac{a}{{4}^{n}}$
因此，粒子运动的总路程为 s=π（R1+R2+…Rn）+2（$\overline{{O}_{1}{P}_{1}}$+$\overline{{O}_{2}{P}_{2}}$+…+$\overline{{O}_{n}{P}_{n}}$）+$\overline{OP}$=π（$\frac{a}{2}$+$\frac{a}{4}$+…+$\frac{a}{{2}^{n}}$）+2（$\frac{a}{4}$+$\frac{a}{16}$+…+$\frac{a}{{4}^{n}}$）+a=（π+$\frac{5}{3}$）a
答：（1）欲使粒子能够再次经过x轴，磁场的磁感应强度B0最小是$\sqrt{\frac{mE}{qa}}$；
（2）在磁感应强度等于第（1）问中B0的情况下，粒子在磁场中的运动时间$\frac{4π}{3}$$\sqrt{\frac{ma}{qE}}$；
（3）若磁场的磁感应强度变为第（1）问中B0的2倍，粒子运动的总路程（π+$\frac{5}{3}$）a．
点评 本题作为压轴题涉及的每一问之间有一定梯度，第一问和第二问为常规题型，只要有一定的物理功底即可拿到分数，第三问的难度具有一定的选拔性，若想成为优中之优一定要重视数学方法在物理中的应用．
如图所示，D是一只二极管，它具有单向导电性，即电流只能从a流向b，而不能从b流向a．平行板电容器AB内部有一带电粒子P处于静止状态，则关于移动电容器极板或移动滑动变阻器的滑片后粒子的运动情况，以下说法正确的是（ ）| A． | 若将A板向上移动，则粒子向下移动 | |
| B． | 若将A板向下移动，则粒子静止不动 | |
| C． | 若将滑动变阻器的滑片向上移动，则粒子静止不动 | |
| D． | 若将滑动变阻器的滑片向下移动，则粒子向上移动 |
在某一均匀介质中由波源O发出的简谐横渡在x轴上传播，某时刻的波形如图所示，其波速为5m/s，则下列说法正确的有（ ）| A． | 此时P、Q两质点的运动方向相同 | |
| B． | 再经过1 s，质点N刚好在（-5 m，20 cm）位置 | |
| C． | 能与该波发生干涉的横波的频率一定为3 Hz | |
| D． | 该波如果遇到2m的障碍物，则能发生明显的衍射现象 | |
| E． | 波源O的振动频率为2.5 Hz |
2009年5月，英国特技演员史蒂夫•特鲁加里亚飞车挑战世界最大环形车道．如图所示，环形车道竖直放置，直径达12m，若汽车在车道上以12m/s恒定的速率运动，演员与摩托车的总质量为1000kg，车轮与轨道间的动摩擦因数为0.1，重力加速度g取10m/s2，则（ ）| A． | 汽车通过最低点时发动机的牵引力为2400N | |
| B． | 汽车通过最高点时对环形车道的压力为1.4×l04N | |
| C． | 若要挑战成功，汽车不可能以低于12 m/s的恒定速率运动 | |
| D． | 汽车在环形车道上的角速度为1 rad/s |
A、B为两个用相同材料、相同横截面积的导线绕制成边长不等的正方形单匝闭合线圈，它们在同一匀强磁场中绕垂直磁场方向的轴匀速转动，产生正弦交变电流．电动势e随时间t的变化关系分别如图所示，则（ ）| A． | 穿过A线圈的磁通量的最大值为$\frac{4}{π}$Wb | |
| B． | A、B两线圈转动的边长之比为3：2 | |
| C． | 从t=0到t=0.06s内，A、B两线圈上产生的热量之比为2：3 | |
| D． | 从t=0到t=0.06s，A线圈磁通量变化量为0 |
| A． | l：9 | B． | 3：8 | C． | 27：8 | D． | 1：8 |
| A． | 热量不能从低温物体传到高温物体 | |
| B． | 0℃的冰熔化为0℃的水时，分子势能一定增大 | |
| C． | 锋利的玻璃片用酒精灯烧烤后变纯了，是液体的表面张力造成的 | |
| D． | 彩色液晶显示器利用了液晶的光学性质具有各向异性的特点 | |
| E． | 只要气体压强不是很高就可视为理想气体 |