Question

3．如图所示，半径为R的光滑半圆轨道与粗糙的斜面相切于B点，斜面与水平面呈θ=37°角．质量为m=1.0kg的小物块（可视为质点），与斜面间的动摩擦因素μ=0.25，由静止从A点释放物块，到达B点进入半圆轨道时无能量损失，物块恰好能通过最高点C后离开半圆轨道．一直S_AB=2m，g取10m/s²．（sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）求物块从A运动到B的时间t和到达B点的速度大小v_B；
（2）求半圆轨道半径R；
（3）如果小物块由静止仍从A点释放，使之能沿半圆轨道返回B点，求半径R的取值范围．

Answer 1

分析 （1）对物块进行受力分析求得合外力，然后由牛顿第二定律求得加速度，即可根据匀变速运动规律求得运动时间和末速度；
（2）根据牛顿第二定律求得在C点的速度，然后对从B到C的运动过程应用机械能守恒求得半径；
（3）对物块从B到最高点应用机械能守恒即可求得高度，然后根据物块圆轨道返回得到半径范围．

解答 解：（1）物块在AB上运动，受到的合外力F=mgsinθ-μmgcosθ=0.2mg=2N，所以，加速度a=2m/s²；
那么由匀变速运动规律可得：物块从A运动到B的时间$t=\sqrt{\frac{2{S}_{AB}}{a}}=\sqrt{2}s$，到达B点的速度${v}_{B}=at=2\sqrt{2}m/s$；
（2）物块恰好能通过最高点C，故对物块在C点应用牛顿第二定律可得：$mg=\frac{m{{v}_{C}}^{2}}{R}$；
物块在半圆轨道上运动只有重力做功，故机械能守恒，则有：$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=2mgR+\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}=\frac{5}{2}mgR$，所以，$R=\frac{{{v}_{B}}^{2}}{5g}=0.16m$；
（3）小物块由静止仍从A点释放，故物块在B处的速度仍为${v}_{B}=2\sqrt{2}m/s$；
要使物块沿半圆轨道返回B点，那么物块在半圆轨道上运动能达到的最高点的竖直高度h≤R；
又有物块在半圆轨道上运动只有重力做功，机械能守恒，所以有$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=mgh$，所以，$R≥h=\frac{{{v}_{B}}^{2}}{2g}=0.4m$；
答：（1）物块从A运动到B的时间t为$\sqrt{2}s$；到达B点的速度大小v_B为$2\sqrt{2}m/s$；
（2）半圆轨道半径R为0.16m；
（3）如果小物块由静止仍从A点释放，使之能沿半圆轨道返回B点，半径R不小于0.4m．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．