Question

13．如图所示，半径为r的光滑圆管形轨道AB部分平直，BC部分是处于竖直平面内半径为R的半圆，r远小于R．有一质量m，半径比r略小的光滑小球以水平初速度v₀射入圆管中：
（1）要求小球从C端出来，初速度v₀至少多大？
（2）若小球的初速度速度为v₀=6$\sqrt{gR}$，求小球对管壁的作用力．

Answer 1

分析 （1）当球恰好能从C端出来时，速度为零，根据机械能守恒定律求解初速度v₀．
（2）小球从A到C过程，只有重力做功，机械能守恒，根据守恒定律列式求解出C点的速度；在C点，弹力和重力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解弹力．

解答 解：（1）恰好过C点：v_c=0
从A到C，由机械能守恒：$\frac{1}{2}mv_0^2=2mgR$
解得：${v_0}=2\sqrt{gR}$
（2）从A到C，由机械能守恒：$\frac{1}{2}mv_0^2=\frac{1}{2}mv_c^2+2mgR$
解得：${v}_{C}=4\sqrt{2gR}$
在C点设作用力方向竖直向下：${F_N}+mg=m\frac{v^2}{R}$
解得：F_N=31mg
由牛顿第三定律：小球对管壁的作用力$F_N^'={F_N}=31mg$，方向竖直向上；
答：（1）要求小球从C端出来，初速度v₀至少为$2\sqrt{gR}$；
（2）若小球的初速度速度为v₀=6$\sqrt{gR}$，小球对管壁的作用力为31mg，方向竖直向上．

点评 本题是机械能守恒定律与向心力知识的结合，考查综合应用物理规律的能力．对于小球在管子里的运动情形与轻杆模型类似，关键抓住临界情况：小球恰好到最高点和在最高点恰好不受管壁作用力两种情况．