Question

图中的AOB是游乐场中的滑道模型，它位于竖直平面内，由两个半径都是R的圆周连接而成，它们的圆心O₁、O₂与两圆弧的连接点O在同一竖直线上．O₂B沿水池的水面．一小滑块可由弧AO的任意点从静止开始下滑．
（1）凡能在O点脱离滑道的小滑块，其落水点到O₂的距离如何？
（2）若小滑块从开始下滑到脱离滑道过程中，在两个圆弧上滑过的弧长相等，则小滑块开始下滑时应在圆弧AO上的何处？（用该处到O₁的连线与竖直线的夹角表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）凡能在O点脱离滑道的小滑块，离开轨道后做平抛运动，先求出最小速度，再根据平抛运动的规律即可求解；
（2）如图所示，设滑块出发点为P₁，离开点为P₂，按题意要求O₁P₁、O₂P₂与竖直方向的夹角相等，设其为θ，若离开滑道时的速度为v，则滑块在P₂处脱离滑道的条件是，结合机械能守恒即可求解．
解答：解：（1）从A到O的运动过程中根据动能定理得：
mgR=
解得：v=
设能脱离轨道的最小速度为v₁
则有：mg=
解得：
R=
 X=v_ot            
联立得：≤x≤2R    
（2）如图所示，设滑块出发点为P₁，离开点为P₂，按题意要求O₁P₁、O₂P₂与竖直方向的夹角相等，
设其为θ，若离开滑道时的速度为v，则滑块在P₂处脱离滑道的条件是
由机械能守恒  2mgR（1-cosθ）=
联立解得   cosθ=
答：（1）凡能在O点脱离滑道的小滑块，其落水点到O₂的距离范围为≤x≤2R；    
（2）小滑块开始下滑时应在圆弧AO上的  cosθ=处．
点评：该题主要考查了动能定理、向心力公式、平抛运动的规律及机械能守恒定律，综合性较强，难度较大．