Question

（2012?安徽一模）如图所示，AOB是游乐场中的滑道模型，它位于竖直平面内，由两个半径都是R的

1

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圆周连接而成，它们的圆心O₁，O₂与两圆弧的连接点O在同一竖直线上．O₂B沿水池的水面，O₂和B两点位于同一水平面上．一个质量为m的小滑块可由弧AO的任意位置从静止开始滑下，不计一切摩擦．
（1）假设小滑块由A点静止下滑，求小滑块滑到O点时对O点的压力；
（2）凡能在O点脱离滑道的小滑块，其落水点到O₂的距离如何；
（3）若小滑块从开始下滑到脱离滑道过程中，在两个圆弧上滑过的弧长相等，则小滑块开始下滑时应在圆弧AO上的何处（用该处到O₁点的连线与竖直线的夹角的三角函数值表示）．

Answer 1

分析：（1）对从A到O的运动过程中运用动能定理及向心力公式即可解题；
（2）凡能在O点脱离滑道的小滑块，离开轨道后做平抛运动，先求出最小速度，再根据平抛运动的规律即可求解；
（3）如图所示，设滑块出发点为P₁，离开点为P₂，按题意要求O₁P₁、O₂P₂与竖直方向的夹角相等，设其为θ，若离开滑道时的速度为v，则滑块在P₂处脱离滑道的条件是

mv2

R

=mgcosθ，结合机械能守恒即可求解．

解答：解：（1）从A到O的运动过程中根据动能定理得：
mgR=

1

2

mv²    
根据向心力公式得：
Fn-mg=m

v2

R

      
联立得：Fn=3mg  
由牛顿第三定律得：压力大小为3mg，方向竖直向下．  
（2）从A点下滑的滑块到O点的速度为

2gR

，设能脱离轨道的最小速度为v₁
则有：mg=m

v12

R

，得：v₁=

gR

R=

1

2

gt²    X=v_ot            
联立得：

2

R≤x≤2R    
（3）如图所示，设滑块出发点为P₁，离开点为P₂，按题意要求O₁P₁、O₂P₂与竖直方向的夹角相等，
设其为θ，若离开滑道时的速度为v，则滑块在P₂处脱离滑道的条件是

mv2

R

=mgcosθ
由机械能守恒  2mgR(1-cosθ)=

1

2

mv2
联立解得   cosθ=

4

5

答：（1）小滑块滑到O点时对O点的压力大小为3mg，方向竖直向下；
（2）凡能在O点脱离滑道的小滑块，其落水点到O₂的距离范围为

2

R≤x≤2R；
（3）若小滑块从开始下滑到脱离滑道过程中，在两个圆弧上滑过的弧长相等，则小滑块开始下滑时应在圆弧AO上的cosθ=

4

5

处．

点评：该题主要考查了动能定理、向心力公式、平抛运动的规律及机械能守恒定律，综合性较强，难度较大．