Question

2．一圆环A套在一均匀圆木棒B上，A的高度相对B的长度来说可以忽略不计，A和B的质量都等于m，A和B之间的滑动摩擦力为f（f＜mg）．开始时B竖直放置，下端离地面高度为h，A在B的顶端，如图所示，让它们由静止开始一起自由下落，当木棒与地面相碰后，木棒以竖直向上的速度反向运动，并且碰撞前后的速度大小相等．设碰撞时间很短，不考虑空气阻力，问：
①木棒刚落到地板瞬间的速度大小为多少？
②若在B再次着地前，A不脱离B，则B与地面碰撞后向上运动到再次落回地面所需时间为多少？
③在B再次着地前，要使A不脱离B，B至少多长？

Answer 1

分析 ①木棒做自由落体运动，由自由落体运动的速度位移公式可以求出落地速度．
②根据牛顿第二定律求出木棒弹起竖直上升过程中木棒和环的加速度，环在木棒上升及下落的全过程中一直处于加速运动状态，所以木棒从向上弹起到再次着地的过程中，棒与环的加速度均保持不变，应用匀变速直线运动的速度公式求出运动时间．
③匀变速直线运动的运动学公式求出这段时间内环运动的位移即可棒的最小长度．

解答 解：①木棒做自由落体运动，由速度位移公式得，落地速度：v₀=$\sqrt{2gh}$；
②木棒弹起竖直上升过程中，根据牛顿第二定律，
对木棒：f+mg=ma₁，解得：a₁=$\frac{mg+f}{m}$，方向：竖直向下，
对环：mg-f=ma₂，解得：a₂=$\frac{mg-f}{m}$，方向竖直向下，
环在木棒上升及下落的全过程中一直处于加速运动状态，
所以木棒从向上弹起到再次着地的过程中，棒与环的加速度均保持不变，木棒反弹后再落地需要的时间为：
t=$\frac{2{v}_{0}}{{a}_{1}}$=$\frac{2m{v}_{0}}{mg+f}$；
③木棒与地面碰撞后再次落回地面过程中，环运动的位移为：
x=v₀t+$\frac{1}{2}$a₂t²，
要使环不碰地面，则要求木棒的长度不小于x，即L≥x，
解得：L≥$\frac{8{m}^{2}{g}^{2}h}{（mg+f）^{2}}$；
答：①木棒刚落到地板瞬间的速度大小为$\sqrt{2gh}$；
②若在B再次着地前，A不脱离B，则B与地面碰撞后向上运动到再次落回地面所需时间为$\frac{2m{v}_{0}}{mg+f}$；
③在B再次着地前，要使A不脱离B，B的长度至少为$\frac{8{m}^{2}{g}^{2}h}{（mg+f）^{2}}$．

点评 本题主要考查了牛顿第二定律以及运动学基本公式的直接应用，要求同学们能正确分析棒和环的运动情况，知道棒和环的运动时间相等，再抓住位移关系求解，难度适中．