Question

1．有一团半径为R的均匀球状物质，在距其中心2R处有一质量为m的小物体．该物质团中的每个质点都有万有引力作用于小物体上，其总效果表现为物质团对小物体的引力．物质团中心与小物体的位置均固定，若物质团均匀地向四周膨胀，膨胀后的半径为3R，此时物质团与小物体的引力的是膨胀前的（　　）

• A． $\frac{8}{27}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． 1
• D． $\frac{27}{8}$

Answer 1

分析 1．球体与质点之间的万有引力可以直接使用万有引力定律代入数据求解；
2．对应均匀球体的内部的点，各个点受到的万有引力等于以球心到该点的距离为半径的内部球产生的万有引力．由此求出物质膨胀后质点受到的万有引力．

解答 解：根据万有引力定律的使用条件可知，设物质团的质量为M，开始时物质团到质点的距离为2R，则二者之间的万有引力大小为：
${F}_{1}=\frac{GMm}{（2R）^{2}}=\frac{GMm}{4{R}^{2}}$
设开始时物质团的密度为ρ₁，当物质团均匀地向四周膨胀到半径为3R时的密度为ρ₂，由质量关系得：$M={ρ}_{1}•\frac{4}{3}π{R}^{3}={ρ}_{2}•\frac{4}{3}π{（3R）}^{3}$
可知：${ρ}_{2}=\frac{1}{27}{ρ}_{1}$
当物质团均匀地向四周膨胀到半径为3R时，质点在位置团的内部，所以质点受到的物质团的万有引力的大小等于以球心到该点的距离为半径的内部球产生的万有引力，即：${F}_{2}=\frac{G•{ρ}_{2}•\frac{4}{3}π（2R）^{3}m}{（2R）^{2}}$=$\frac{Gm}{4{R}^{2}}•\frac{1}{27}{ρ}_{1}•\frac{4}{3}π{（2R）}^{3}$=$\frac{8M}{27}•\frac{Gm}{4{R}^{2}}$=$\frac{8}{27}{F}_{1}$
故选：A

点评 该题是对万有引力定律的公式使用简单的微元法的应用，注意选取一个质量元，要对其万有引力分解，然后求和．在解答的过程中要搞清楚引力产生的原因，万有引力公式的适用条件一定要清晰即可．