Question

13．如图1所示，两根足够长的平行金属导轨MN、PQ相距为L，导轨平面与水平面夹角为α，金属棒ab垂直于MN、PQ放置在导轨上，且始终与导轨接触良好，金属棒的质量为m，导轨处于匀强磁场中，磁场的方向垂直于导轨平面斜向上，磁感应强度大小为B，金属导轨的上端与开关S、定值电阻R₁和电阻箱R₂相连．不计一切摩擦，不计导轨、金属棒的电阻，重力加速度为g，现闭合开关S，将金属棒由静止释放．

（1）判断金属棒ab中电流的方向；
（2）若电阻箱R₂接入电路的阻值为R₂=2R₁=2R，当金属棒下降高度为h时，速度为v，求此过程中定值电阻R₁上产生的焦耳热Q₁；
（3）当B=0.40T，L=0.50m，α=37°时，金属棒能达到的最大速度v_m随电阻箱R₂阻值的变化关系如图2所示．取g=10m/s²，sin37°=0.60，cos37°=0.80．求定值电阻R₁的阻值和金属棒的质量m．

Answer 1

分析 （1）由右手定则判断金属棒ab中的电流方向．
（2）金属棒下滑的过程中，金属棒减小的重力势能等于增加的动能和电路中产生的焦耳热，由能量守恒定律求解．
（3）根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律、安培力公式和平衡条件得到最大速度与R₂的关系式，再结合图象的数学意义求解．

解答 解：（1）由右手定则，知金属棒ab中的电流方向为b到a．
（2）由能量守恒，得知金属棒减小的重力势能等于增加的动能和电路中产生的焦耳热：
 mgh=$\frac{1}{2}$mv²+Q
解得：Q=mgh-$\frac{1}{2}$mv² 
定值电阻R₁上产生的焦耳热 Q₁=$\frac{1}{3}$Q=$\frac{1}{3}$mgh-$\frac{1}{6}$mv²．
（3）设最大速度为v，切割磁感线产生的感应电动势：E=BLv
由闭合电路的欧姆定律：$I=\frac{E}{{{R_1}+{R_2}}}$
金属棒达到最大速度时满足：mgsinα-BIL=0
由以上三式得：$v=\frac{{mg（{R_1}+{R_2}）sinα}}{{{B^2}{L^2}}}$，即 v=15mR₂+15mR₁
由图象得 斜率 k=$\frac{60-30}{2}$=15m，得m=1kg
由15mR₁=30，得R₁=2Ω
答：
（1）金属棒ab中的电流方向为b到a．
（2）定值电阻R₁上产生的焦耳热为$\frac{1}{3}$mgh-$\frac{1}{6}$mv²．
（3）定值电阻R₁的阻值是2Ω，金属棒的质量m是1kg．

点评 电磁感应问题经常与电路、受力分析、功能关系等知识相结合，是高中知识的重点，该题中难点是第三问，关键是根据物理规律写出两坐标物理量之间的函数关系．