如图所示.在竖直平面内固定有两个很靠近的同心圆形轨道.外圆ABCD光滑.内圆A′的上半部分B′C′D′粗糙.下半部分B′A′D′光滑．一质量m=0.2kg的小球从轨道的最低点A处以初速度v0向右运动.球的直径略小于两圆间距.球运动的轨道半径R=0.2m.取g=10m/s2．(1)若要使小球始终紧贴着外圆做完整的圆周运动.初速度v0至少为多少?(2)若v0=3m/s.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．

如图所示，在竖直平面内固定有两个很靠近的同心圆形轨道，外圆ABCD光滑，内圆A′的上半部分B′C′D′粗糙，下半部分B′A′D′光滑．一质量m=0.2kg的小球从轨道的最低点A处以初速度v₀向右运动，球的直径略小于两圆间距，球运动的轨道半径R=0.2m，取g=10m/s²．
（1）若要使小球始终紧贴着外圆做完整的圆周运动，初速度v₀至少为多少？
（2）若v₀=3m/s，经过一段时间小球到达最高点，内轨道对小球的支持力F_C=2N，则小球在这段时间内克服摩擦力做的功是多少？
（3）若v₀=3.1m/s，经过足够长的时间后，小球经过最低点A时受到的支持力为多少？小球在整个运动过程中减少的机械能是多少（保留三位有效数字）？

分析（1）紧贴外圆做圆周运动，在最高点的临界情况是重力提供向心力，根据牛顿第二定律结合机械能守恒定律求出初速度的最小值．
（2）根据牛顿第二定律求出最高点的速度大小，根据动能定理求出克服摩擦力做功的大小．
（3）经足够长时间后，小球在下半圆轨道内做往复运动，根据动能定理和牛顿第二定律求出最低点小球所受的支持力大小，根据能量守恒求出损失的机械能．

解答解：（1）在最高点C，重力恰好充当向心力，由牛顿第二定律得：mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$，
从A到C机械能守恒，由机械能守恒定律得：
2mgR=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}$mv_C²，
解得：v₀=$\sqrt{10}$m/s；
（2）在最高点，由牛顿第二定律得：mg-F_C=m$\frac{v{′}_{C}^{2}}{R}$，
解得：v_C′=0，
从A到C，由动能定理得：-2mgR-W_f=0-$\frac{1}{2}$mv₀²，
解得：W_f=0.1J；
（3）由于v₀=3.1m/s＜$\sqrt{10}$m/s，在上半圆周运动过程的某阶段，
小球将对内圆轨道间有弹力，由于摩擦作用，机械能将减小．经足够长时间后，小球将仅在下半圆轨道内做往复运动．设此时小球经过最低点的速度为v_A，受到的支持力为F_A，由动能定理得：
mgR=$\frac{1}{2}$mv_A²，
由牛顿第二定律得：F_A-mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$，
解得：F_A=6N，
整个运动过程中小球减少的机械能为：
△E=$\frac{1}{2}$mv₀²-mgR，
解得：△E=0.561J；
答：（1）若要使小球始终紧贴着外圆做完整的圆周运动，初速度v₀至少为$\sqrt{10}$m/s；
（2）若v₀=3m/s，经过一段时间小球到达最高点，内轨道对小球的支持力F_C=2N，则小球在这段时间内克服摩擦力做的功是0.1J；
（3）若v₀=3.1m/s，经过足够长的时间后，小球经过最低点A时受到的支持力为6N，小球在整个运动过程中减少的机械能是0.561J．

点评本题综合考查了动能定理、牛顿第二定律和机械能守恒定律，综合性较强，关键是理清运动过程，抓住临界状态，运用合适的规律进行求解．

练习册系列答案

	A．	t_A＞t_B＞t_C
	B．	三把刀在击中板时动能相同
	C．	三把刀中初动能最大的是从A处飞出的刀
	D．	三把刀中初速度与水平方向夹角最大的是从A处飞出的刀

	A．	将金属丝拉长至2L
	B．	将金属丝两端的电压提高到原来的4倍
	C．	将金属丝对折后拧成一股
	D．	将金属丝拉长至4L

	A．	重力对运动员和伞做的功为$\frac{2mg}{3}$		B．	重力对运动员和伞做的功为mgh
	C．	重力对运动员和伞做的功为$\frac{4mg}{3}$		D．	运动员和伞的总动能减少了mgh

	A．	任意相等的时间内，通过相等的弧长
	B．	任意相等的时间内，通过的位移相同
	C．	任意相刻，加速度相同
	D．	任意相刻，速度相同

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