Question

7．一个在地球上做简谐运动的单摆，其振动图象如图1所示，则此单摆的摆长约为1m，今将此单摆移至某一行星上，其简谐运动图象如图2所示．若已知该行星的质量为地球质量的2倍，则该行星表面的重力加速度为地球表面重力加速度的$\frac{1}{4}$倍；该行星的半径与地球半径之比为$\frac{2\sqrt{2}}{1}$．

Answer 1

分析 由图直接读出周期，根据单摆的周期公式求出摆长．根据单摆在行星和地球上的周期之比求出表面的重力加速度之比．根据万有引力等于重力，结合重力加速度之比以及行星和地球的质量之比求出行星半径和地球半径之比．

解答 解：由题图知，单摆在地球表面上的振动时周期 T=2s，
根据T=2$π\sqrt{\frac{L}{g}}$，有：L=$\frac{g{T}^{2}}{4{π}^{2}}$
近似计算时可取π²=10，g取10m/s²，代入数据解得：L=1m．
由题图知，单摆在某行星振动周期T′=4s，而T′=2π$\sqrt{\frac{L′}{g}}$，
得：$\frac{g′}{g}$=$\frac{{T}^{2}}{T{′}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，
所以行星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的$\frac{1}{4}$倍．
根据G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，G$\frac{Mm}{R{′}^{2}}$=mg′得：$\frac{R′}{R}$=$\frac{2\sqrt{2}}{1}$
故答案为：1m，$\frac{1}{4}$，$\frac{2\sqrt{2}}{1}$．

点评 本题考查了单摆的周期公式与万有引力定律的综合运用，知道单摆周期公式以及万有引力等于重力这一思路是解题的关键．