Question

12．地面上有一个半径为R的圆形跑道，高为h的平台边缘上的P点在地面上P′点的正上方，P′与跑道圆心O的距离为L（L＞R），如图所示．跑道上停有一辆小车，现从P点水平抛出小沙袋，使其落入小车中（沙袋所受空气阻力不计）．问：
（1）若小车在跑道上运动，则沙袋被抛出时的初速度在什么范围内？
（2）若小车沿跑道顺时针做匀速圆周运动，当小车恰好经过A点时，将沙袋抛出，为使沙袋能在B处落入小车中，小车的速率v应满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）小车在A点时水平的位移最小，此时的初速度也是最小的，当小车在B点时，水平的位移最大，此时的初速度是最大的，沙袋被抛出时的初速度应该在AB两点的初速度之间；
（2）要使沙袋能在B处落入小车中，在沙袋落到B点时，小车要刚好到达B位置，小车可以是经过$\frac{1}{4}$圆周到达B点，也可以是经过整数个圆周之后再过$\frac{1}{4}$圆周到达B点，根据它们的时间相同可以求得小车速度的关系

解答 解：（1）沙袋从P点被抛出后做平抛运动，设它的落地时间为t，则
h=$\frac{1}{2}$gt²
解得 t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$①
当小车位于A点时，有
x_A=v_At=L-R②
解①②得v_A=（L-R）$\sqrt{\frac{g}{2h}}$
若小车在跑道上运动，要使沙袋落入小车，最小的抛出速度为
v_0min=v_A=（L-R）$\sqrt{\frac{g}{2h}}$
若当小车经过C点时沙袋刚好落入，抛出时的初速度最大，有
x_c=v_0maxt=L+R ③
解①③得 v_0max=（L+R）$\sqrt{\frac{g}{2h}}$
所以沙袋被抛出时的初速度范围为
（L-R）$\sqrt{\frac{g}{2h}}$≤v₀≤（L+R）$\sqrt{\frac{g}{2h}}$
（2）要使沙袋能在B处落入小车中，小车运动的时间应与沙袋下落时间相同
t_AB=（n+$\frac{1}{4}$）$\frac{2πR}{v}$（n=0，1，2，3…）
所以t_AB=t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$
解得v=$\frac{1}{2}$（4n+1）πR$\sqrt{\frac{g}{2h}}$（n=0，1，2，3…）．
答：（1）若小车在跑道上运动，则沙袋被抛出时的初速度范围为（L-R）$\sqrt{\frac{g}{2h}}$≤v₀≤（L+R）$\sqrt{\frac{g}{2h}}$；
（2）若小车沿跑道顺时针做匀速圆周运动，当小车恰好经过A点时，将沙袋抛出，为使沙袋能在B处落入小车中，小车的速率v应满足v=$\frac{1}{2}$（4n+1）πR$\sqrt{\frac{g}{2h}}$（n=0，1，2，3…）．

点评 本题是对平抛运动规律的考查，在分析第二问的时候，要考虑到小车运动的周期性，小车并一定是经过$\frac{1}{4}$圆周，也可以是经过了多个圆周之后再经过$\frac{1}{4}$圆周后恰好到达B点，这是同学在解题时经常忽略而出错的地方．