Question

9．假设地球同步卫星和月球都绕地球做匀速圆周运动，已知万有引力常量为G，地球质量为M，半径为R．地球的自转周期为T．月球到地心的距离为r，求：
（1）月球的运行速度；
（2）同步卫星距离地面的高度；
（3）同步卫星和月球的运行周期之比．

Answer 1

分析 （1）月球绕地球的万有引力提供向心力，求出运行速度
（2）地球的同步卫星的万有引力提供向心力，可以求出地球同步卫星的高度．
（3）根据万有引力提供向心力求出月球的运行周期，再求比值

解答 解：（1）月球绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有：
$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$
解得：$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$
（2）同步卫星的万有引力提供向心力，周期等于地球的自转周期，有：
$G\frac{Mm′}{（R+h）_{\;}^{2}}=m′\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（R+h）$
解得：$h=\root{3}{\frac{GM{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}-R$
（3）月球绕地球运行做匀速圆周运动，有：$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{′2}}r$
解得：$T′=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{GM}}$
同步卫星和月球的运行周期之比为：$\frac{T}{T′}=\frac{T}{\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{GM}}}=T\sqrt{\frac{GM}{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}}$
答：（1）月球的运行速度$\sqrt{\frac{GM}{r}}$；
（2）同步卫星距离地面的高度$\root{3}{\frac{GM{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}-R$；
（3）同步卫星和月球的运行周期之比$T\sqrt{\frac{GM}{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}}$．

点评 解答此题要清楚月球绕地球做匀速圆周运动靠万有引力提供向心力，地球的同步卫星的万有引力提供向心力且周期等于地球自转周期．