Question

12．如图所示，PQ右侧平面区域分布N个足够大条形磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向里，相邻磁场区域的距离为S．左测存在一个加速电场，A板为加速电场正极板，B板为负极板，极板间电压为U，质量m、带正电量为q 的粒子从A板静止释放加速后垂直射入磁场（重力不计）．
（1）试求粒子在磁场区域做圆周运动的轨道半径；
（2）粒子恰好经过右边第二个磁场区域的右边界后返回，最终垂直PQ边界离开磁场，试求从粒子进入磁场返回边界PQ所用的时间；
（3）若要求粒子经过右边第N个磁场后再返回通过边界PQ，试求加速电场的电压应该调节到多大．

Answer 1

分析 （1）根据动能定理求出粒子进入磁场时的速度，结合半径公式求出粒子在磁场中运动的轨道半径．
（2）粒子在两个磁场中的运动轨迹可以看成一个完整的半圆轨迹，根据周期公式求出在磁场中的运动时间，结合几何关系，运用运动学公式求出在磁场间隙间的运动时间，从而得出总时间．
（3）根据粒子在磁场中的运动轨道半径，结合加速电压与轨道半径的关系求出加速电压调节的范围．

解答 解：（1）粒子在电场中加速到磁场中，有：qU=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
粒子在磁场中受洛伦兹力作匀速圆周运动，f=qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
轨道半径r=$\frac{mv}{qB}=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$．
（2）可以将两个磁场的轨迹看成一个完整的半圆轨迹，r=$\frac{mv}{qB}=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$，
在磁场中运动的时间${t}_{1}=\frac{T}{2}$，T=$\frac{2πm}{qB}$，则${t}_{1}=\frac{πm}{qB}$．
条形磁场区域宽度d=$\frac{r}{2}=\frac{1}{2B}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$，
则粒子经过第一个磁场偏转角sinθ=$\frac{d}{r}=\frac{π}{6}$，在磁场间隙运动轨迹是直线2m
运动的时间为${t}_{2}=\frac{2s}{vcos\frac{π}{6}}=\frac{4\sqrt{3}s}{3}\sqrt{\frac{m}{2qU}}$，
t=t₁+t₂=$\frac{πm}{qB}+\frac{4\sqrt{3}s}{3}\sqrt{\frac{m}{2qU}}$．
（3）${r}_{1}=\frac{m{v}_{1}}{qB}=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2m{U}_{1}}{q}}$，${r}_{2}=\frac{m{v}_{2}}{qB}=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2m{U}_{2}}{q}}$，
解得${U}_{1}=\frac{{N}^{2}}{4}U$，${U}_{2}=\frac{（N-1）^{2}}{4}U$，
则调节后的电压U_x满足$\frac{（N-1）^{2}}{4}U＜{U}_{x}≤\frac{{N}^{2}}{4}U$．
答：（1）粒子在磁场区域做圆周运动的轨道半径为$\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$；
（2）从粒子进入磁场返回边界PQ所用的时间为$\frac{πm}{qB}+\frac{4\sqrt{3}s}{3}\sqrt{\frac{m}{2qU}}$；
（3）加速电场的电压应该调节到$\frac{（N-1）^{2}}{4}U＜{U}_{x}≤\frac{{N}^{2}}{4}U$．

点评 本题考查了带电粒子在磁场中的运动，关键作出粒子的运动轨迹，抓住临界状态，结合半径公式、周期公式进行求解．