Question

12．如图，质量为M、长为L、高为h的矩形木块A置于水平地面上，木块与地面间动摩擦因数为μ；木块上表面光滑，其左端放置一个质量为m的小球B，m=M．某时刻木块和小球同时获得向右的速度v₀后开始运动，不计空气阻力，经过一段时间后小球落地．求小球落地时距木块右端的水平距离．

Answer 1

分析 若木块在小球滑落前已停止运动，小球离开木块后做平抛运动，结合平抛运动的规律求出小球落地时距离木块左端的水平距离．
木块在小球滑落时还在运动，分为两种情况，小球落地时木块已经停止运动；小球落地时木块还未停止运动，结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解．

解答 解：小球未掉落时木块的加速度大小为a₁，根据牛顿第二定律得：${a}_{1}=\frac{μ（mg+Mg）}{M}=2μg$．
（1）如木块在小球滑落前已停止运动，设木块运动的总时间为t₀，有：
${t}_{0}=\frac{{v}_{0}}{2μg}$，
此时$L≤\frac{{{v}_{0}}^{2}}{4μg}$，
小球离开木块后做平抛运动的时间${t}_{1}=\sqrt{\frac{2h}{g}}$，
小球落地时距木块的左端的水平距离x=${v}_{0}\sqrt{\frac{2h}{g}}$．
则距离右端的水平距离为x′=x+L=${v}_{0}\sqrt{\frac{2h}{g}}+L$．
（2）当L$＞\frac{{{v}_{0}}^{2}}{4μg}$时，木块在小球滑落时还在运动，此时木块运动的时间为t，速度为v，
${v}_{0}t-（{v}_{0}t-\frac{1}{2}×2μg{t}^{2}）=L$，
解得：t=$\sqrt{\frac{L}{μg}}$．
v=${v}_{0}-2μgt={v}_{0}-2\sqrt{μgL}$．
小球掉落后木块继续运动时的加速度大小为a₂，有：
${a}_{2}=\frac{μMg}{M}=μg$，
设木块继续运动的时间为t₂，
${t}_{2}=\frac{v}{{a}_{2}}=\frac{{v}_{0}-2\sqrt{μgL}}{μg}$，
讨论：①如小球落地时木块已经停止运动．即：
$\frac{{v}_{0}-2\sqrt{μgL}}{μg}＜\sqrt{\frac{2h}{g}}$，
小球落地时距木块右端的水平距离为：x=${v}_{0}\sqrt{\frac{2h}{g}}-\frac{（{v}_{0}-2\sqrt{μgL}）^{2}}{2μg}$．
讨论：②如小球落地时木块还未停止运动，小球落地时距木块右端的水平距离为：
x=${v}_{0}\sqrt{\frac{2h}{g}}-[（{v}_{0}-2\sqrt{μgL}）\sqrt{\frac{2h}{g}}-\frac{1}{2}μg{\sqrt{\frac{2h}{g}}}^{2}]$=$2\sqrt{2μLh}+μh$．
答：木块在小球滑落前已停止运动，小球落地时距木块的右端的水平距离为${v}_{0}\sqrt{\frac{2h}{g}}+L$．；
木块在小球滑落时还在运动，如小球落地时木块已经停止运动，则小球落地时距木块右端的水平距离为${v}_{0}\sqrt{\frac{2h}{g}}-\frac{（{v}_{0}-2\sqrt{μgL}）^{2}}{2μg}$．
如小球落地时木块还未停止运动，小球落地时距木块右端的水平距离为$2\sqrt{2μLh}+μh$．

点评 本题考查了牛顿第二定律和平抛运动的综合运用，该题的难点在于需要分情况讨论：（1）木块在小球滑落前已停止运动；（2）木块在小球滑落时还在运动．