Question

20．“嫦娥一号”探月卫星为绕月极地卫星．利用该卫星可对月球进行成像探测．已知卫星在绕月极地轨道上做匀速圆周运动时距月球表面的高度为H，月球半径为R_M，月球表面重力加速度为$\frac{g}{6}$，月球绕地球公转的轨道半径为R₀；地球半径为R_E，已知光速为C．
（1）月球的第一宇宙速度．
（2）“嫦娥一号”探月卫星绕月运动的周期
（3）如图所示，当绕月极地轨道的平面与月球绕地球公转的轨道平面垂直时（即与地心到月心的连线垂直时），求绕月极地卫星向地球地面发送照片需要的最短时间．

Answer 1

分析 1．卫星绕月做圆周运动时，由月球的万有引力提供向心力，知道距月球表面高为H，月球半径为R_M，绕行的周期为T_M，根据万有引力提供向心力可求出月球的第一宇宙速度．
2．根据万有引力提供向心力和月球表面的物体受到的重力等于万有引力可以计算出周期．
3．根据几何知识求出卫星到地面最短距离，再求出时间．

解答 解：（1）对月球表面上的物体根据万有引力提供向心力：$\frac{G{M}_{月}m}{{R}_{月}^{2}}=m{g}_{月}=m•\frac{g}{6}$
对绕月球表面做圆周运动的物体：$\frac{G{M}_{月}m}{{R}_{月}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{{R}_{月}}$

故第一宇宙速度的大小为：$v=\sqrt{\frac{g{R}_{月}}{6}}$ 
（2）在卫星绕月球做圆周运动：$\frac{G{M}_{月}{m}_{卫}}{{（R}_{月}^{\;}+H）^{2}}={m}_{卫}•\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}（{R}_{月}+H）$ 
对月球表面上的物体：$\frac{G{M}_{月}m}{{R}_{月}^{2}}=m•\frac{g}{6}$  
联立得：$T=2π\sqrt{\frac{24（{R}_{月}+H）^{3}}{g{R}_{月}^{2}}}$ 
（3）根据题中示意图的几何关系可得卫星到地面的最短距离为：
$L=\sqrt{{R}_{0}^{2}+（H+{R}_{月}）^{2}}-{R}_{月}$，
卫星向地面发送照片需要的最短时间为：$t=\frac{L}{c}$
联立得：$t=\frac{\sqrt{{R}_{0}^{2}+{（H+{R}_{月}）}^{2}}-{R}_{月}}{c}$
答：（1）月球的第一宇宙速度是$\sqrt{\frac{g{R}_{月}}{6}}$．
（2）“嫦娥一号”探月卫星绕月运动的周期是$2π\sqrt{\frac{24{（{R}_{月}+H）}^{3}}{g{R}_{月}^{2}}}$
（3）绕月极地卫星向地球地面发送照片需要的最短时间是$\frac{\sqrt{{R}_{0}^{2}+{（H+{R}_{月}）}^{2}}-{R}_{月}}{c}$

点评 本题是计算天体质量问题，关键是要能熟练利用万有引力与圆周运动知识的结合求解环绕天体的质量，这是常用方法之一．