Question

7．如图所示，直流电源的路端电压U=1.2V，金属板AB、CD、EF、GH相互平行，彼此靠近．它们分别和变阻器上的触点a、b、c、d连接．变阻器上ab、bc、cd段电阻之比为1：2：3．孔O₁正对B和E，孔O₂正对D和G．边缘F、H正对．金属板间的距离L₁=2cm，L₂=4cm，L₃=6cm．正对两极板间可视为匀强电场．在这些金属板左侧有一水平放置且顺时针匀速转动的传送带，传送带M、N两端长L=2m，传送带N端紧挨着AB板且稍低与AB板，传送带上方空间存在一水平向右场强E₁=2V/m的匀强电场．现有一质量m=1kg、带电量q=+5C的小物块（可视为质点）从M端以v₀=4m/s的速度滑上传送带，小物块与传送带之间动摩擦因数μ=0.2，皮带不打滑且与小物块间无电荷交换．g取10m/s²．求：
（1）各正对两极板间的电场强度E；
（2）若传送带运行速度从0逐渐增大，试讨论小物块从传送带M端运动到N端时的动能E_k与传送带的速度v的关系；
（3）若传送带以V=10m/s运行，小物块从皮带上运动后紧沿着AB方向从A点进入右下方电场，恰好穿过孔O₁和O₂后，从H点离开电场，则四块金属板的总长度“AB+CD+EF+GH”是多少？

Answer 1

分析 （1）各个板间的电压之和即为电源的电压，极板间电压之比等于ab、bc、cd段电阻之比，且每个极板间均为匀强电场；
（2）滑块滑上传送带后，如果速度比传送带快，则受向后的滑动摩擦力；如果速度比传送带慢，受到向前的滑动摩擦力；根据动能定理列式求解末动能即可；
（3）滑块在右侧电场中做类似平抛运动，初速度已知，根据类似平抛运动的分位移公式列式求解即可．

解答 解：（1）三对正对极板间电压之比U₁：U₂：U₃=R_ab：R_bc：R_cd=1：2：3，
板间距离之比L₁：L₂：L₃=1：2：3
故三个电场场强相等?
E=$\frac{U}{{L}_{1}+{L}_{2}+{L}_{3}}$=$\frac{1.2}{（2+4+6）×1{0}^{-2}}$V/m=10V/C
（2）①当皮带的速度v≤4m/s时，qE₁＞μmg，则摩擦力对物块一直做负功，有：
$q{E}_{1}L-μmgL={E}_{k}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$ 
解得：
E_k=24J 
②若物块从M到N，摩擦力一直做正功，有：
$q{E}_{1}L+μmgL={E}_{k}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$ 
解得：E_k=32J
故当v≥8m/s时，物块的动能为32J；
③当4m/s＜v＜8m/s时，设物块速度增至与皮带速度相等时物块位移为L′，有：
$q{E}_{1}L′+μmgL′=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：E_k=$\frac{{v}^{2}}{6}+\frac{64}{3}$
（3）传送带速度V=10m/s＞8m/s，由第2问讨论可知摩擦力一直对物块做正功；
则可知带电物块离开传送带时E_k=32J=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
即对应此时物块以v=8m/s的速度离开传送带水平进入右边电场
由第1问知极板间电场是匀强电场，物块做类似平抛运动：
竖直方向：a=$\frac{mg+qE}{m}$=$\frac{1×10+5×10}{1}$=60m/s²；
${L}_{1}+{L}_{2}+{L}_{3}=\frac{1}{2}a{t}^{2}$ 
解得：
t=$\sqrt{\frac{2（{L}_{1}+{L}_{2}+{L}_{3}）}{a}}=\frac{\sqrt{10}}{50}s$
水平方向：$x=vt=v\sqrt{\frac{2（{L}_{1}+{L}_{2}+{L}_{3}）}{a}}=\frac{4\sqrt{10}}{25}m$
则四块金属板的总长度：AB+CD+EF+GH+2x=$\frac{8\sqrt{10}}{25}m$≈1.0m
答：（1）各正对两极板间的电场强度E均为10V/C；
（2）若传送带运行速度从0逐渐增大，当皮带的速度v≤4m/s时，末动能为24J；当v≥8m/s时，末动能为32J；当4m/s＜v＜8m/s时，末动能为$\frac{{v}^{2}}{6}+\frac{64}{3}$J；
（3）四块金属板的总长度“AB+CD+EF+GH”是1.0m．

点评 本题关键是明确滑块的受力情况和运动情况，结合动能定理、类似平抛运动的分运动公式列式求解，不难．