Question

4．如图所示，质量为m的小球用长为L的细绳系于O点，把小球拿到O点正上方且使细绳拉直的位置A后，以v=$\sqrt{\frac{gL}{2}}$的速度水平向右弹出（空气阻力不计）
（1）小球从弹出至下落到与O点等高的位置这一过程中，小球做什么运动，请说明理由；
（2）求小球到达最低点时细绳上的拉力大小．

Answer 1

分析 （1）由于v＜v₀，故绳中没有张力，小球将做平抛运动；
（2）先结合平抛运动的特点求出绳子拉直的瞬间小球的速度大小以及小球的速度与竖直方向之间的夹角，并进一步求出小球沿半径方向的分速度与垂直于半径方向的分速度，再由动能定理求的O点最低端的速度，由牛顿第二定律求的拉力．

解答 解：（1）若小球能作圆周运动，设最高点速度至少为v₀
$mg=\frac{{mv}_{0}^{2}}{L}$
${v}_{1}=\sqrt{gL}＞\sqrt{\frac{gL}{2}}$
小球以v=$\sqrt{\frac{gL}{2}}$作平抛运动．
（2）设当小球运动到B点，此时OB与竖直方向夹角为θ，
Lsinθ=v₀t            ①
L+Lcosθ=$\frac{1}{2}$gt²        ②
由①②代入数据得：cosθ=$\frac{4}{5}$，sinθ=$\frac{3}{5}$
竖直分速度为：v_y²=2gL（1+cosθ）
绳绷紧瞬间沿半径方向速度立即减小为0，设切线方向速度为v₁
v₁=v_ysinθ-v₀ cosθ
小球由B运动到最低点C，由机械能守恒有：$\frac{1}{2}{mv}_{C}^{2}=\frac{1}{2}{mv}_{1}^{2}+mgL（1-cosθ）$
小球在C点根据牛顿运动定律，有：$F-mg=m\frac{{v}_{C}^{2}}{L}$
联立解得：F=$\frac{m（\sqrt{2gL（1-cosθ）}-{v}_{0}cosθ）^{2}}{L}+3mg-2mgcosθ$
答：（1）小球从弹出至下落到与O点等高的位置这一过程中，小球做平抛运动；
（2）小球到达最低点时细绳上的拉力大小是$\frac{m（\sqrt{2gL（1-cosθ）}-{v}_{0}cosθ）^{2}}{L}+3mg-2mgcosθ$．

点评 要使小球在竖直面内能够做完整的圆周运动，在最高点时至少应该是重力作为所需要的向心力，这是本题中的一个临界条件，与此时的物体的速度相对比，可以判断物体能否做圆周运动，进而再根据不同的运动的规律来分析解决问题，本题能够很好地考查学生的分析解决问题的能力，是道好题．