Question

如图，两根足够长的光滑固定平行金属导轨与水平面成θ角，导轨间距为d，两导体棒a和b与导轨垂直放置，两根导体棒的质量都为m、电阻都为R，回路中其余电阻不计．整个装置处于垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度的大小为B．在t=0时刻使a沿导轨向上作速度为v的匀速运动，同时将b由静止释放，b经过一段时间后也作匀速运动．已知d=1m，m=0.5kg，R=0.5Ω，B=0.5T，θ=30°，g取10m/s²，不计两导棒间的相互作用力．
（1）为使导体棒b能沿导轨向下运动，a的速度v不能超过多大？
（2）若a在平行于导轨向上的力F作用下，以v₁=2m/s的速度沿导轨向上运动，试导出F与b的速率v₂的函数关系式并求出v₂的最大值；
（3）在（2）中，当t=2s时，b的速度达到5.06m/s，2s内回路中产生的焦耳热为13.2J，求该2s内力F做的功（结果保留三位有效数字）．

Answer 1

（1）设a的速度为v₁，由于b初态速度为零，则  I=

E1

2R

=

Bdv1

2R

     ①
对b：FA=BId=

B2d2v1

2R

         ②
F_A＜mgsinθ  ③
将①②式代入③式得：v₁＜10m/s  ④
（2）设a的速度为v₁，b的速度为v₂，回路电流为I，
则：I=

E1+E2

2R

=

Bd(v1+v2)

2R

   ⑤
对a：mgsinθ+F_A=F
即mgsinθ+

B2d2(v1+v2)

2R

=F  ⑥
代入数据得：F=3+

v2

4

  
设b的最大速度为v_m，则有：

B2d2(v1+vm)

2R

=mgsinθ
代入数据得：v_m=8m/s
（3）对b：mgsinθ-F_A=ma   
即mgsinθ-

B2d2(v1+v2)

2R

=ma
取任意无限小△t时间：mg△t?sinθ-

B2d2(v1+v2)

2R

?△t=ma?△t
代入数据并求和得：8∑△t-∑△x₂=2∑△v₂   
即8t-x₂=2v₂  
将t=2s，v₂=5.06m/s代入上式得：x₂=5.88m   
a的位移：x₁=v₁t=2×2=4m
由功能关系知：
WF=

1

2

m

v

22

+mgx1sinθ-mgx2sinθ+Q
代入数据得：W_F=14.9J 
答：（1）为使导体棒b能沿导轨向下运动，a的速度v不能超过10m/s；
（2）F与b的速率v₂的函数关系式为F=3+

v2

4

，v₂的最大值为8m/s；
（3）在2s内力F做的功为14.9J．