题目内容
水平固定的两根足够长的平行光滑杆AB和CD，两杆之间的距离为d，两杆上各穿有质量分别为m1=1kg和m2=2kg的小球，两小球之间用一轻质弹簧连接，弹簧的自由长度也为d．开始时，弹簧处于自然伸长状态，两小球静止，如图（a）所示．现给小球m1一沿杆向右方向的瞬时初速度，以向右为速度的正方向，得到m1的v-t图象为如图（b）所示的周期性图线（以小球m1获得瞬时速度开始计时）．
（1）求出在以后的过程中m2的速度范围；
（2）在图（b）中作出小球m2的v-t图象；
（3）若在光滑杆上小球m2右侧较远处还穿有另一质量为m3=3kg的小球，该小球在某一时刻开始向左匀速运动，速率为v=4m/s，它将遇到小球m2并与m2结合在一起运动，求：在以后的过程中，弹簧弹性势能的最大值的范围？
（1）求出在以后的过程中m2的速度范围；
（2）在图（b）中作出小球m2的v-t图象；
（3）若在光滑杆上小球m2右侧较远处还穿有另一质量为m3=3kg的小球，该小球在某一时刻开始向左匀速运动，速率为v=4m/s，它将遇到小球m2并与m2结合在一起运动，求：在以后的过程中，弹簧弹性势能的最大值的范围？
分析：m1和m2运动过程中动量守恒，根据动量守恒定律求出2的几个速度值，描点连成光滑曲线即可；
m2和m3碰撞后，根据系统动量守恒定律，能量守恒定律求解．
m2和m3碰撞后，根据系统动量守恒定律，能量守恒定律求解．
解答：解：（1）以m1=1kg和m2=2kg组成的系统在相互作用过程中，水平方向动量守恒，所以
m1v0=m1v1+m2v2
解得：v2=
当v1=6m/s时v2=0
当v1=2m/s时v2=2m/s
当v1=-2m/s时v2=4m/s
所以m2的速度范围是0≤v2≤4m/s
（2）所以一个周期内m2球的v-t图象如图所示：
（3）设m2和m3碰撞后的速度是v23
m2v2-m3v=（m2+m3）v23
设m2和m3碰撞过程中机械能损失△E
△E=
m3v2+
m2v22-
（m2+m3）
解得：△E=
当v2=0，损失的机械能最小，△Emin=9.6J
当v2=4，损失的机械能最大，△Emax=38.4J
当三个球的速度相同时，弹性势能最大，
根据动量守恒得m1v0-m3v=（m1+m2+m3）v共
解得：v共=-1m/s
整个相同具有的总机械能E总=
m1v02+
m3v 2
设弹簧弹性势能的最大值是Ep，对全过程应用能量守恒定律得：
E总=
（m1+m2+m3）v共2+△E+Ep
弹簧弹性势能的最大值Ep=39-△E
弹簧弹性势能的最大值的范围是0.6J～29.4J
答：（1）m2的速度范围是0≤v2≤4m/s
（2）如图
（3）弹簧弹性势能的最大值的范围是0.6J～29.4J
m1v0=m1v1+m2v2
解得：v2=
| v0-v1 |
| 2 |
当v1=6m/s时v2=0
当v1=2m/s时v2=2m/s
当v1=-2m/s时v2=4m/s
所以m2的速度范围是0≤v2≤4m/s
（2）所以一个周期内m2球的v-t图象如图所示：
（3）设m2和m3碰撞后的速度是v23m2v2-m3v=（m2+m3）v23
设m2和m3碰撞过程中机械能损失△E
△E=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| v | 2 23 |
解得：△E=
| 3(v2+4)2 |
| 5 |
当v2=0，损失的机械能最小，△Emin=9.6J
当v2=4，损失的机械能最大，△Emax=38.4J
当三个球的速度相同时，弹性势能最大，
根据动量守恒得m1v0-m3v=（m1+m2+m3）v共
解得：v共=-1m/s
整个相同具有的总机械能E总=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
设弹簧弹性势能的最大值是Ep，对全过程应用能量守恒定律得：
E总=
| 1 |
| 2 |
弹簧弹性势能的最大值Ep=39-△E
弹簧弹性势能的最大值的范围是0.6J～29.4J
答：（1）m2的速度范围是0≤v2≤4m/s
（2）如图
（3）弹簧弹性势能的最大值的范围是0.6J～29.4J
点评：本题主要考查了动量守恒定律，能量守恒定律的应用，解题的关键是分析小球的运动情况，知道什么时候弹性势能最大，过程较为复杂，难度较大，属于难题．
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