Question

水平固定的两根足够长的平行光滑杆MN、PQ，两者之间的间距为L，两光滑杆上分别穿有一个质量分别为M_A=0.1kg和M_B=0.2kg的小球A、B，两小球之间用一根自然长度也为L的轻质橡皮绳相连接，开始时两小球处于静止状态，轻质橡皮绳处于自然伸长状态，如图（a）所示．现给小球A一沿杆向右的水平瞬时冲量I，以向右为速度正方向，得到A球的速度-时间图象如图（b）所示．（以小球A获得瞬时冲量开始计时，以后的运动中橡皮绳的伸长均不超过其弹性限度．）
（1）求瞬时冲量I的大小；
（2）在图（b）中大致画出B球的速度-时间图象；
（3）若在A球的左侧较远处还有另一质量为M_C=0.1kg小球C，某一时刻给C球4m/s的速度向右匀速运动，它将遇到小球A，并与之结合在一起运动，试定量分析在各种可能的情况下橡皮绳的最大弹性势能．

Answer 1

分析：（1）由图象得出A的初速度，根据动量定理求出瞬时冲量的大小．
（2）根据动量守恒定律求出AB速度相同时的速度，以及A的速度为-2m/s时，B的速度．从而大致画出B球的速度时间图象．
（3）不论A、C两球何时何处相互作用，三球相互作用的过程中三球具有的共同速度是一个定值，即三球速度相同时的总动能是一定值．根据动量守恒求出三球的共同速度，此时橡皮绳的弹性势能最大．抓住当A球在运动过程中速度减为4m/s与C球同向时，C球与之相碰时系统损失能量最小，A球在运动过程中速度为2m/s与C球反向时，C球与之相碰时系统损失能量最大，根据损失的能量转换为弹性势能，得出弹性势能最大值的范围．

解答：解：（1）由图象得V_A=6m/s，
又I=M_AV_A-0=0.6N．m
（2）B的速度-时间图象如图
M_AV_A=（M_A+M_B）V₁
 V₁=2m/s
M_AV_A=M_AV_A′+M_BV₂ 
 解得V₂=4m/s
（3）因A、B、C三小球水平方向系统不受外力，故动量守恒．
由此可得：不论A、C两球何时何处相互作用，三球相互作用的过程中三球具有的共同速度是一个定值，即三球速度相同时的总动能是一定值．
M_AV_A+M_CV_C=（M_A+M_B+M_C）V_共  
解得V_共=2.5m/s
当三球速度相同时橡皮绳子弹性势能最大，所以当A球在运动过程中速度减为4m/s与C球同向时，C球与之相碰时系统损失能量最小（为0），此情况下三球在运动过程中橡皮绳具有的最大弹性势能为E_PM1
E_PM1=

1

2

M_AV_A²+

1

2

M_CV_C²-

1

2

（M_A+M_B+M_C）V_共²=1.35J
当A球在运动过程中速度为2m/s与C球反向时，C球与之相碰时系统损失能量最大，此情况下三球运动的过程中橡皮绳具有的最大弹性势能为E_PM2
M_CV_C-M_AV_A=（M_A+M_C）V₃
解得V₃=1m/s
E_PM2=

1

2

（M_A+M_C）V₃²+

1

2

M_BV₂²-

1

2

（M_A+M_B+M_C）V_共²=0.45J
由上可得：橡皮绳具有的最大弹性势能E_PM的可能值在0.45J-1.35J的范围内．
答：（1）瞬时冲量I的大小为0.6N．m．
（2）如图所示．
（3）橡皮绳具有的最大弹性势能E_PM的可能值在0.45J-1.35J的范围内．

点评：本题综合考查了动量守恒定律、动量定理以及能量守恒定律，综合性较强，对学生的能力要求较高，尤其第（3）问，知道最终系统动能为定值，结合能量守恒定律求出弹性势能的最大值．