Question

12．如图所示为一圆柱形气缸，气缸左侧绝热，气缸右侧导热，气缸中央有一小孔与大气相通，大气的压强为P₀．用绝热活塞M、N将气缸分成A、B、C三室，M、N用劲度系数为K的弹簧连接，活塞的面积为S，活塞相对气缸可以无摩擦地移动但不漏气．气缸的左端A室中有一电加热器．已知在A、C室中均盛同种理想气体，电加热器加热前，系统处于平衡状态，A、C两室中气体和大气温度的温度均为T₀，A、C两室气体的长度均为L₀．弹簧处于原长，现通过电加热器对A室中气体缓慢加热，（活塞M始终在小孔的左侧）
①若固定活塞N，活塞M向右移动了$\frac{1}{2}$L₀，求此时A的温度T₁；
②放开活塞N，活塞N向右移动了$\frac{1}{2}$L₀，求此时A的温度T₂．

Answer 1

分析 ①根据题意求出A中气体的状态参量，然后应用理想气体状态方程求出气体的温度；
②求出气体B的状态参量，应用玻意耳定律求出气体的压强，然后求出气体A的状态参量，应用理想气体状态参量求出气体A的温度．

解答 解：①气体A的状态参量：p_A1=p₀，V_A1=L₀S，T_A1=T₀，
p_A2=p₀+$\frac{K×\frac{1}{2}{L}_{0}}{S}$=p₀+$\frac{K{L}_{0}}{2S}$，V_A2=$\frac{3}{2}$L₀S，
由理想气体状态方程得：$\frac{{p}_{A1}{V}_{A1}}{{T}_{A1}}$=$\frac{{p}_{A2}{V}_{A2}}{{T}_{A2}}$，
即：$\frac{{p}_{0}{L}_{0}S}{{T}_{0}}$=$\frac{（{p}_{0}+\frac{K{L}_{0}}{2S}）×\frac{3}{2}{L}_{0}S}{{T}_{1}}$，解得：T₁=$\frac{3}{2}$（1+$\frac{K{L}_{0}}{2{p}_{0}S}$）T₀；
②气体B的状态参量：p_B1=p₀，V_B1=L₀S，V_B2=$\frac{1}{2}$L₀S，
气体B发生等温变化，由玻意耳定律得：
p_B1V_B1=p_B2V_B2，即：p₀×L₀S=p_B2×$\frac{1}{2}$L₀S，
解得：p_B2=2p₀，p_B2=2p₀=p₀+$\frac{Kx}{S}$，x=$\frac{{p}_{0}S}{K}$，
气体A的状态参量为：p_A2=p₀+$\frac{K{L}_{0}}{2S}$，V_A2=$\frac{3}{2}$L₀S，T_A2=$\frac{3}{2}$（1+$\frac{K{L}_{0}}{2{p}_{0}S}$）T₀，
p_A3=p_B2=2p₀，V_A3=（L₀-x）S=（L₀-$\frac{{p}_{0}S}{K}$）S，T_A3=T₂，
对气体A，由理想气体状态参量得：$\frac{{p}_{A2}{V}_{A2}}{{T}_{A2}}$=$\frac{{p}_{A3}{V}_{A3}}{{T}_{A3}}$，
即：$\frac{（{p}_{0}+\frac{K{L}_{0}}{2S}）×\frac{3}{2}{L}_{0}S}{\frac{3}{2}（1+\frac{K{L}_{0}}{2{p}_{0}S}）{T}_{0}}$=$\frac{2{p}_{0}×（{L}_{0}-\frac{{p}_{0}S}{K}）S}{{T}_{2}}$，
解得：T₂=$\frac{2{p}_{0}（{L}_{0}-\frac{{p}_{0}S}{K}）（1+\frac{K{L}_{0}}{2{p}_{0}S}）{T}_{0}}{{p}_{0}+\frac{K{L}_{0}}{2S}}$；
答：①若固定活塞N，活塞M向右移动了$\frac{1}{2}$L₀，此时A的温度T₁为$\frac{3}{2}$（1+$\frac{K{L}_{0}}{2{p}_{0}S}$）T₀；
②放开活塞N，活塞N向右移动了$\frac{1}{2}$L₀，此时A的温度T₂为$\frac{2{p}_{0}（{L}_{0}-\frac{{p}_{0}S}{K}）（1+\frac{K{L}_{0}}{2{p}_{0}S}）{T}_{0}}{{p}_{0}+\frac{K{L}_{0}}{2S}}$．

点评 本题考查了求气体的温度，本题是连接体问题，本题有一定难度，分析清楚气体的状态变化过程、求出气体的状态参量是解题的前提与关键；应用理想气体状态方程与玻意耳定律可以解题；解题时要注意两部分气体间的状态参量关系．