Question

18．一轻质弹簧直立在地面上，其劲度系数k=200N/m，弹簧的上端与空心物体A连接，物体B置于A内，B的上下表面恰好与A接触，如图所示．A和B质量均为1kg，先将A向上抬高使弹簧伸长10cm后由静止释放，A和B一起做上下方向的简谐运动．已知弹簧的弹性势能取决于弹簧形变大小（g取10m/s²，阻力不计）．求：
（1）物体A的振幅；
（2）物体B的最大速率；
（3）在最高点和最低点时A对B的作用力．

Answer 1

分析 （1）简谐运动的振幅A是振动物体离开平衡位置的最大距离，根据此定义，可先求出振子在平衡位置时，弹簧的压缩量，即可求解A．
（2）振子到达平衡位置时B的速率最大，从开始到平衡位置，运用机械能守恒定律列式，可求出B的最大速率．
（3）先由整体法求出加速度，再隔离B，运用牛顿第二定律求解．

解答 解：（1）在平衡位置处弹簧的弹力等于A、B的重力，所以从原长到平衡位置弹簧压缩量：
x₁=$\frac{2mg}{k}=\frac{2×1×10}{200}$=0.1m=10cm
则：振幅A=x+x₁=20 cm．（式中x为抬高A时弹簧的伸长量）
（2）最大速率在平衡位置，从最高点到平衡位置过程中，前后位置弹簧的弹性势能相等，因此重力势能转化为动能．
（m_A+m_B）g•A=（m_A+m_B）v²
解得：v=2 m/s
（3）在最高点对A、B整体受到的重力和弹力方向相同，根据牛顿第二定律：
（m_A+m_B）g+kx=（m_A+m_B）a
代入数据得：a=30m/s²
对B：设A对B的力为F₁，
则：F₁+m_Bg=m_Ba，所以：F₁=m_Ba-m_Bg=1×（30-10）=20N，方向竖直向下
在最低点：根据简谐振动的对称性，整体具有竖直向上的加速度，大小仍为a，
对B：设A对B的力为F₂
则：F₂-m_Bg=m_Ba
所以：F₂=m_Bg+m_Ba=1×（10+30）=40N
方向竖直向上
答：（1）物体A的振幅是20cm；
（2）物体B的最大速率是2m/s；
（3）在最高点和最低点时A对B的作用力分别是20N，方向竖直向下和40N，方向竖直向上．

点评 本题要紧扣振幅的定义，运用胡克定律、牛顿第二定律和机械能守恒结合进行分析和求解．