Question

12．如图（甲），MN、PQ两条平行的光滑金属轨道与水平面成θ=30°角固定，M、P之间接电阻箱R，电阻箱的阻值范围为0～4Ω，导轨所在空间存在匀强磁场，磁场方向垂直于轨道平面向上，磁感应强度为B=0.5T．质量为m的金属杆a b水平放置在轨道上，其接入电路的电阻值为r．现从静止释放杆a b，测得最大速度为v_m．改变电阻箱的阻值R，得到v_m与R的关系如图（乙）所示．已知轨距为L=2m，重力加速度g=10m/s²，轨道足够长且电阻不计．

（1）当R=0时，求杆a b匀速下滑过程中产生感生电动势E的大小及杆中的电流方向；
（2）求金属杆的质量m和阻值r；
（3）求金属杆匀速下滑时电阻箱消耗电功率的最大值P_m．

Answer 1

分析 （1）由图读出R=0时杆ab的最大速度，由E=BLv求解感生电动势E的大小，由右手定则判断出杆中的电流方向；
（2）根据 E=BLv、$I=\frac{E}{R+r}$、F=BIL推导出安培力的表达式，当杆匀速运动时速度最大，由平衡条件得到最大速度v_m与R的关系式，根据图象的斜率和纵截距求解金属杆的质量m和阻值r；
（3）金属杆匀速下滑时，由平衡条件求得电路中电流，即可求出电阻箱消耗电功率的最大值P_m；

解答 解：（1）由图可知，当R=0时，杆最终以v=2m/s匀速运动，产生电动势
E=BLv=0.5×2×2V=2V
由右手定则判断可知杆中电流方向从b→a
（2）设杆运动的最大速度为v，杆切割磁感线产生的感应电动势 E=BLv
由闭合电路的欧姆定律得：$I=\frac{E}{R+r}$
杆达到最大速度时满足 mgsinθ-BIL=0
联立解得：v=$\frac{mgsinθ}{{{B^2}{L^2}}}R+\frac{mgsinθ}{{{B^2}{L^2}}}r$
由图象可知：斜率为$k=\frac{4-2}{2}{m/（s}•{Ω）}={1m/（s}•{Ω）}$，纵截距为v₀=2m/s，
得到：$\frac{mgsinθ}{{{B^2}{L^2}}}r$=v₀ $\frac{mgsinθ}{{{B^2}{L^2}}}$=k
解得：m=0.2kg，r=2Ω
（3）金属杆匀速下滑时电流恒定，则有 mgsinθ-BIL=0
得 $I=\frac{mgsinθ}{BL}=1A$
电阻箱消耗电功率的最大值${P_m}={I^2}{R_m}=4W$
答：（1）当R=0时，求杆a b匀速下滑过程中产生感生电动势E的大小2V，杆中电流方向从b→a．
（2）金属杆的质量m为0.2kg，阻值r是2Ω；
（3）金属杆匀速下滑时电阻箱消耗电功率的最大值P_m是4W．

点评 本题综合考查了法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、牛顿第二定律等，综合性强，对学生能力的要求较高，其中安培力的分析和计算是关键．