题目内容

2．X轴下方有两个关于直线x=-0.5a对称的沿X轴的匀强电场（大小相等，方向相反）．如图甲所示．一质量为m，带电量为-q的粒子（不计重力）．以初速度V沿Y轴正方向从P点进入电场，后从原点O以与过P点时相同的速度进入磁场．粒子过O点的同时在MN和X轴之间加上按图乙所示的规律发生周期性变化的磁场，规定垂直纸面向里为正方向．正向磁场与反向磁场的磁感应强度大小相等，且持续的时间相同．粒子在磁场中运动一段时间后粒子到达Q点，并且速度也与过P点时速度相同．已知P、O、Q在一条直线上与水平方向夹角为θ，且P、Q两点横坐标分别为-a、a．试计算：

（1）电场强度E的大小；
（2）磁场的磁感应强度B的大小；
（3）粒子从P到Q的总时间．

分析 （1）根据题意可知，带电粒子在电场中做类平抛运动，且时间相等，水平位移为a，竖直方向位移为atanθ，根据平抛运动的基本公式即可求解运动时间和电场强度；
（2）带电粒子在第一象限的磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力结合几何关系求解即可；
（3）分别求出粒子在电场和磁场中运动的时间，两段时间之和即为总时间．

解答 解：（1）带电粒子在第三象限的运动为两个阶段的匀变速曲线运动，且时间相等，设为t，
对该运动分析得：
Y方向：atanθ=2Vt，
X方向：$\frac{1}{2}a=\frac{qE}{2m}{t}^{2}$，
解得：$E=\frac{4m{V}^{2}}{aq（tan{θ）}^{2}}$，t=$\frac{atanθ}{2V}$；

（2）带电粒子在第一象限的磁场中做匀速圆周运动，设半径为R，如图所示（只画出一个周期的情况）：

由几何关系可知：
$\frac{a}{cosθ}=4nRcosθ$，（n=1，2，3…）
$BqV=m\frac{{V}^{2}}{R}$
解得：B=$\frac{4nmV（cosθ）^{2}}{qa}$，（n=1，2，3…）
（3）带电粒子在电场中运动的时间${t}_{电}=2t=\frac{atanθ}{V}$，
研究带电粒子在磁场中的匀速圆周运动，设时间为t磁，设单元圆弧对应的圆心角为α，由几何关系可知，α=π-2θ，
则${t}_{磁}=2n\frac{（π-2θ）R}{V}=\frac{（π-2θ）a}{2V（cosθ）^{2}}$
所以粒子从P到Q的总时间${t}_{总}={t}_{电}+{t}_{磁}=\frac{atanθ}{V}+\frac{（π-2θ）a}{2V{（cosθ）}^{2}}$
答：（1）电场强度E的大小为$\frac{4m{V}^{2}}{aq{（tanθ）}^{2}}$；
（2）磁场的磁感应强度B的大小为$\frac{4nmV（cosθ）^{2}}{qa}$，（n=1，2，3…）；
（3）粒子从P到Q的总时间为$\frac{atanθ}{V}+\frac{（π-2θ）a}{2V{（cosθ）}^{2}}$．

点评 本题考查了粒子在电场与磁场中的运动，粒子在电场中做类平抛运动、在磁场中做匀速圆周运动，分析清楚粒子运动过程，应用类平抛运动规律、牛顿第二定律即可正确解题．

练习册系列答案
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