Question

15．如图所示，游乐列车由许多节车厢组成．列车全长为L，圆形轨道半径为R，（R远大于一节车厢的高度h和长度l，但L＞2πR）．已知列车的车轮是卡在导轨上的光滑槽中只能使列车沿着圆周运动而不能脱轨．试问：列车在水平轨道上应具有多大初速度V₀，才能使列车通过圆形轨道？

Answer 1

分析 先根据向心力公式求出车厢恰能滑到最高处时的临界速度，对布满在轨道上车厢整体运用动能定理列式即可求解．

解答 解：滑上轨道前列车速度的最小值v₀与轨道最高处车厢应具有的速度的最小值v相对应．这里v代表车厢恰能滑到最高处，且对轨道无弹力的临界状态．由：
mg=$\frac{{mv}^{2}}{R}$
得：$v=\sqrt{gR}$
另外列车势能还增加了M′gh′，其中M′为布满在轨道上车厢的质量，
M′=M$\frac{2πR}{L}$
h为它们的平均高度，由几何关系可知：h′=R
由以上分析可得：
$\frac{1}{2}$Mv₀²=$\frac{1}{2}$Mv²+M$\frac{2πR}{L}$gR
解得：${v}_{0}=\sqrt{gR+\frac{4{πgR}^{2}}{L}}$
答：列车在运行到圆环前的速度v₀至少为$\sqrt{gR+\frac{4{πgR}^{2}}{L}}$，才能使整个列车安全通过圆环轨道．

点评 本题以竖直平面内的圆周运动为模型，考查了向心力公式及动能定理的直接应用，难度适中．