Question

3．如图是某科研小组设计的高空作业装置示意图，该装置固定于六层楼的顶部，从地面到楼顶高为18m，该装置由悬挂机构和提升装置两部分组成．悬挂机构由支架AD和杠杆BC构成，CO：OB=2：3．配重E通过绳子竖直拉着杠杆B端，其质量m_E=100kg，底面积S=200cm²．安装在杠杆C端的提升装置由定滑轮M、动滑轮K、吊篮及与之固定在一起的电动机Q构成．电动机Q和吊篮的总质量m₀=10kg，定滑轮M和动滑轮K的质量均为m_K．可利用遥控电动机拉动绳子H端，通过滑轮组使吊篮升降，电动机Q提供的功率恒为P．当提升装置空载悬空静止时，配重E对楼顶的压强p₀=4×10⁴Pa，此时杠杆C端受到向下的拉力为F_C．科研人员将质量为m₁的物体装入吊篮，启动电动机，当吊篮平台匀速上升时，绳子H端的拉力为F₁，配重E对楼顶的压强为p₁，滑轮组提升物体m₁的机械效率为η．物体被运送到楼顶卸下后，科研人员又将质量为m₂的物体装到吊篮里运回地面．吊篮匀速下降时，绳子H端的拉力为F₂，配重E对楼顶的压强为p₂，吊篮经过30s从楼顶到达地面．已知p₁：p₂=1：2，F₁：F₂=11：8，不计杠杆重、绳重及摩擦，g取10N/kg．求：
（1）拉力F_C；
（2）机械效率η；
（3）功率P．

Answer 1

分析 （1）当提升装置空载悬空静止时，对配重E进行受力分析，求出各个力的大小．再对杠杆B端和C端的受力分析，由杠杆平衡条件求拉力F_C；
（2）当提升装置空载悬空静止时，对提升装置整体的受力进行分析，由平衡条件求出动滑轮K的质量．吊篮匀速上升时，对配重E、杠杆、提升装置的受力分析，由平衡条件求出拉力F₁，吊篮匀速下降时，配重E、杠杆、提升装置的受力分析，由平衡条件求出拉力F₂，再求解机械效率η；
（3）当吊篮匀速下降时，电动机Q提供的功率：P=F₂×3v．由此解答．

解答 解：（1）当提升装置空载悬空静止时，配重E的受力分析如图1所示．
 G_E=m_Eg=100kg×10N/kg=1000N，
  N₀=p₀S=4×10⁴Pa×200×10^-4m²=800N，
  T_B=G_E-N₀=1000N-800N=200N，
当提升装置空载悬空静止时，杠杆B端和C端的受力分析如图2所示．
  F_B=T_B=200N
因为 F_C×CO=F_B×OB，
所以 F_C=$\frac{{F}_{B}×OB}{OC}$=$\frac{200×3}{2}$N=300N，
（2）当提升装置空载悬空静止时，提升装置整体的受力分析如图3所示．
 T_C=F_C=300N
 G₀=m₀g=10kg×10N/kg=100N，
 T_C=G₀+2G_K=m₀g+2m_Kg，
解得：m_K=10kg；
吊篮匀速上升时，配重E、杠杆、提升装置的受力分析分别如图4、图5、图6所示，物体、动滑轮、电动机与吊篮整体的受力分析如图7所示．

 T_B1=F_B1、T_C1=F_C1、F_C1×CO=F_B1×OB
  F_C1=T_C1=G₀+2G_K+G₁
 F_B1=$\frac{CO}{BO}{F}_{C1}$=$\frac{2}{3}{F}_{C1}$=$\frac{2}{3}$（G₀+2G_K+G₁），
配重对楼顶的压力N₁'=G_E-F_B1
  p₁=$\frac{N{′}_{1}}{S}$=$\frac{{G}_{E}-{F}_{B1}}{S}$=$\frac{{G}_{E}-\frac{2}{3}（{G}_{0}+2{G}_{K}+{G}_{1}）}{S}$----①
  F₁=$\frac{1}{3}$（G₀+G_K+G₁）-----②
吊篮匀速下降时，配重E、杠杆、提升装置的受力分析分别如图8、图9、图10所示，物体、动滑轮、电动机与吊篮整体的受力分析如图11所示．

 T_B2=F_B2，T_C2=F_C2，F_C2×CO=F_B2×OB
 F_C2=T_C2=G₀+2G_K+G₂
 F_B2=$\frac{CO}{BO}{F}_{C2}$=$\frac{2}{3}{F}_{C2}$=$\frac{2}{3}$（G₀+2G_K+G₂），
配重对楼顶的压力 N₂'=G_E-F_B2
 p₂=$\frac{N{′}_{2}}{S}$=$\frac{{G}_{E}-{F}_{B2}}{S}$=$\frac{{G}_{E}-\frac{2}{3}（{G}_{0}+2{G}_{K}+{G}_{2}）}{S}$---③
 F₂=$\frac{1}{3}$（G₀+G_K+G₂）------④
由①③可得：
  $\frac{{p}_{1}}{{p}_{2}}$=$\frac{{G}_{E}-{F}_{B1}}{{G}_{E}-{F}_{B2}}$=$\frac{{G}_{E}-\frac{2}{3}（{G}_{0}+2{G}_{k}+{G}_{1}）}{{G}_{E}-\frac{2}{3}（{G}_{0}+2{G}_{k}+{G}_{2}）}$=$\frac{1}{2}$
解得：2m₁-m₂=120kg--------------------⑤
由②④可得：
$\frac{{F}_{1}}{{F}_{2}}$=$\frac{{G}_{0}+{G}_{k}+{G}_{1}}{{G}_{0}+{G}_{k}+{G}_{2}}$=$\frac{11}{8}$
解得：8m₁-11m₂=60kg---------------------⑥
由⑤⑥解得：
m₁=90kg，m₂=60kg，
当吊篮匀速上升时，滑轮组提升重物的机械效率：
 η=$\frac{{W}_{有}}{{W}_{总}}$=$\frac{{m}_{1}gh}{（{m}_{1}+{m}_{0}+{m}_{k}）gh}$=$\frac{90}{90+10+10}$=81.8%；
（3）当吊篮匀速下降时，电动机Q提供的功率：
P=F₂×3v=$\frac{（{m}_{2}+{m}_{0}+{m}_{k}）g}{3}$×3×$\frac{h}{t}$=$\frac{（60+10+10）×10×18}{30}$=480W．
答：（1）拉力F_C为300N；
（2）机械效率为81.8%；
（3）功率为480W．

点评 解决本题的关键要明确研究对象，正确分析其受力情况，要掌握滑轮组的力学特性，运用平衡条件、杠杆平衡等知识进行研究．