Question

3．如图所示，圆柱形区域的半径为R，在区域同有垂直于纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场；对称放置的三个相同的电容器．极板间距为d，极板电压为U，与磁场相切的极板，在切点处均有一小孔，一带电粒子，质量为m，带电荷量为+q，自某电容器极板上的M点由静止释放，M点在小孔a的正上方，若经过一段时间后，带电粒子又恰好返回M点，不计带电粒子所受重力．求：
（1）带电粒子在磁场中运动的轨道半径；
（2）U与B所满足的关系式；
（3）带电粒子由静止释放到再次返回M点所经历的时间．

Answer 1

分析 （1）画出运动的轨迹，根据几何关系求得半径；
（2）根据动能定理求出电子加速后的速度，然后由洛伦兹力提供向心力即可求出磁感应强度；
（3）求出粒子做圆周运动的周期，结合运动的轨迹求出电子在各段上的时间，求和即可．

解答 解：（1）磁场中原半径r圆心角为120°的圆弧与半径R圆心角为60°的轨道圆弧的两段详解在相同的两点，由几何关系解出：r=$\sqrt{3}$R；
（2）设粒子加速后获得的速度为v，进入磁场后做匀速圆周运动的半径为R．
由动能定理得：qU=$\frac{1}{2}$mv²-0，
由洛伦兹力提供向心力，得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
由几何关系得：r=Rtan60°
联立以上公式得：B=$\frac{1}{R}$$\sqrt{\frac{2mU}{3q}}$；
（3）根据运动电荷在磁场中做匀速圆周运动的周期公式T=$\frac{2πm}{qB}$=2πR$\sqrt{\frac{3m}{2qU}}$，
依题意分析可知粒子在磁场中运动一次所经历的时间为$\frac{1}{6}$T，故粒子在磁场中运动的总时间t₁=3×$\frac{1}{6}$=πR$\sqrt{\frac{3m}{2qU}}$，
而粒子在匀强电场中做一类 似竖直上抛运动，所经历的时间t₂，由s=$\frac{1}{2}$at²可求得：t₂=2$\sqrt{\frac{2d}{a}}$．
因为a=$\frac{qU}{md}$，
所以t₂=2d$\sqrt{\frac{2m}{qU}}$，粒子在电场中运动的总时间为：6d$\sqrt{\frac{2m}{qU}}$．?
带电粒子由静止释放到再次返回M点所经历的时间为：?
t=t₁+3t₂=πR$\sqrt{\frac{3m}{2qU}}$+6d$\sqrt{\frac{2m}{qU}}$．?
答：（1）带电粒子在磁场中运动的轨道半径为$\sqrt{3}$R；
（2）U与B所满足的关系式为：B=$\frac{1}{R}$$\sqrt{\frac{2mU}{3q}}$；
（3）带电粒子由静止释放到再次返回M点所经历的时间为πR$\sqrt{\frac{3m}{2qU}}$+6d$\sqrt{\frac{2m}{qU}}$．

点评 带电粒子在电磁场中的运动，要注意灵活选择物理规律，电场中一般由动能定理或类平抛的规律求解，而磁场中粒子做圆周运动，应由向心力公式及几何关系求解．