Question

12．静放在光滑水平面上的小车左端有$\frac{1}{4}$光滑圆弧滑道AB，与水平滑到相切于B点，水平滑道上的BC部分粗糙，其余部分光滑，右端固定一个轻弹簧P，整个滑道质量为m₁，如图所示，现让质量为m₂的滑块（可视为质点）自A点由静止释放，滑块滑过BC后与小车右端弹簧碰撞，第一次被弹簧弹回后没有再滑上圆弧滑道，已知粗糙水平滑道BC长l=1.0m，滑块与BC间的动摩擦因数μ=0.15，m₁=2m₂，取g=10m/s²，求：
（1）$\frac{1}{4}$光滑圆弧滑道AB的半径大小范围；
（2）整个过程中小车获得的最大速度．

Answer 1

分析 （1）系统水平方向动量守恒，应用动量守恒定律与能量守恒定律求出R的临界值，然后确定其范围．
（2）分析清楚过程，确定小车受到最大的位置，然后应用动量守恒定律与能量守恒定律求出最大速度．

解答 解：（1）小车与滑块组成的系统在水平方向所受合外力为零，系统在水平方向动量守恒，
系统初状态在水平方向动量为零，由动量守恒定律可知，系统在末状态系统动量为零，
最终小车与滑块均静止，小车与滑块的动能都为零，由能量守恒定律可知，滑块重力势能的减少量转化为内能，
当滑块静止在C处时，圆弧滑道的半径最小，由能量守恒定律得：
m₂gR_最小=μm₂gl，
解得：R_最小=0.15m，
当滑块最终静止在B处时，圆弧滑道的半径最大，由能量守恒定律得：
m₂gR_最大=μm₂g•2l，
解得：R_最大=0.3m，
则$\frac{1}{4}$光滑圆弧滑道AB的半径大小范围是：0.15m≤R≤0.3m；
（2）当滑块由静止刚滑到圆弧滑道的最低点时，小车的速度最大，小车与滑块组成的系统在水平方向动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得：
m₂v_滑块-m₁v_小车=0，
由机械能守恒定律得：m₂gR=$\frac{1}{2}$m₂v_滑块²+$\frac{1}{2}$m₁v_小车²，
已知：m₁=2m₂，
解得：v_小车=$\sqrt{\frac{gR}{3}}$，
由于0.15m≤R≤0.3m，
则：R=0.3m时，小车的速度最大，v_小车最大=$\sqrt{\frac{g{R}_{最大}}{3}}$=$\sqrt{\frac{10×0.3}{3}}$=1m/s；
答：（1）$\frac{1}{4}$光滑圆弧滑道AB的半径大小范围是：0.15m≤R≤0.3m；
（2）整个过程中小车获得的最大速度是1m/s．

点评 本题考查了求半径范围、小车的最大速度，分析清楚物体运动过程是正确解题的关键，应用动量守恒定律、能量守恒定律、机械能守恒定律即可正确解题．