Question

3．雨滴接近地面的过程可以看做匀速直线运动，此时雨滴的速度称为收尾速度．某同学在一本资料上看到，雨滴的收尾速度v与雨滴的半径r成正比，由此该同学对雨滴运动中所受的阻力F作了如下几种假设：
（1）阻力只与雨滴的半径成正比，即F=kr（k为常数）．
（2）阻力只与速度的平方成正比，即F=kv²（k为常数）．
（3）阻力与速度的平方和半径的乘积成正比，即F=krv²（k为常数）．
你认为哪种假设能够解释雨滴收尾速度与半径成正比这一关系？请写出推导过程．

Answer 1

分析 雨滴以收尾速度做匀速直线运动时，重力和阻力平衡，根据平衡条件列式；再根据G=mg=ρ•$\frac{4}{3}π{r}^{3}$•g列式；根据题目中“雨滴的收尾速度v与雨滴的半径r成正比”列式；最后联立得到结论即可．

解答 解：结论（3）是合理的，证明如下；
雨滴以收尾速度做匀速直线运动时，重力和阻力平衡，故：
mg=F       ①
其中：
G=mg=ρ•$\frac{4}{3}π{r}^{3}$•g ②
v=kr  ③
联立得到：
F=$\frac{4πρg}{3{k}^{3}}{v}^{3}$
由于雨滴的收尾速度v与雨滴的半径r成正比，故具有收尾速度时，阻力与速度的三次方成正比，也可以说与速度的平方和半径的乘积成正比、与速度和半径的平方乘积成正比、与速度的三次方成正比；
答：结论（3）是合理的，证明如上．

点评 本题是力平衡问题，关键是结合平衡条件和题意列式分析，实际上流体阻力与速度和横截面积的乘积成正比．