Question

如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上的P点沿水平方向以初速度υ₀抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点Q，斜面的倾角为θ，已知该星球半径为R，万有引力常量为G，求：
（1）该星球表面的重力加速度g；
（2）该星球的第一宇宙速度υ；
（3）人造卫星在该星球表面做匀速圆周运动的最小周期T．

Answer 1

分析：（1）小球做平抛运动，水平位移x=υ₀t，竖直位移y=

1

2

gt2，再根据几何关系即可求得该星球表面的重力加速度g；
（2）该星球的近地卫星的向心力由万有引力提供，该星球表面物体所受重力等于万有引力，联立方程即可求出该星球的第一宇宙速度υ；
（3）人造卫星的向心力由万有引力提供，当运动半径即为该星球半径时，周期最小．

解答：解：（1）小球做平抛运动，水平位移x=υ₀t，竖直位移y=

1

2

gt2
由位移关系得：tanθ=

y

x

=

1 2 gt2

υ0t

，g=

2υ0tanθ

t

（2）该星球的近地卫星的向心力由万有引力提供

GMm

R2

=m

υ2

R

①
该星球表面物体所受重力等于万有引力，

GMm

R2

=mg②
由①②得υ=

gR

=

2υ0Rtanθ t

（3）人造卫星的向心力由万有引力提供

GMm

r2

=m

4π2

T2

r，T=

4π2r3 GM

=

4π2r3 gR2

当r=R时，T最小，T=

4π2R g

=

4π2Rt 2υ0tanθ

=

2π2Rt υ0tanθ

答：（1）该星球表面的重力加速度g为

2υ0tanθ

t

；
（2）该星球的第一宇宙速度υ为

2υ0Rtanθ t

；
（3）人造卫星在该星球表面做匀速圆周运动的最小周期T为

2π2Rt υ0tanθ

．

点评：该题主要考查了平抛运动及圆周运动的相关知识，要求同学们能熟练掌握平抛运动的基本公式及向心力公式，难度适中．