Question

如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P点沿水平方向以初速度v₀抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点Q，斜面的倾角为α，已知该星球半径为R，万有引力常量为G，求：
（1）该星球表面的重力加速度；
（2）该星球的密度；
（3）该星球的第一宇宙速度v；
（4）人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动的最小周期T．

Answer 1

分析：（1）根据平抛运动规律列出水平方向和竖直方向的位移等式，结合几何关系求出重力加速度．
（2）忽略地球自转的影响，根据万有引力等于重力列出等式．根据密度公式求解．
（3）该星球的近地卫星的向心力由万有引力提供，该星球表面物体所受重力等于万有引力，联立方程即可求出该星球的第一宇宙速度υ

解答：解：（1）设该星球表现的重力加速度为g，根据平抛运动规律：
水平方向：x=v₀t
竖直方向：y=

1

2

gt2
平抛位移与水平方向的夹角的正切值tanα=

y

x

=

1 2 gt2

v0t

得g=

2v0tanα

t

；                   
（2）在星球表面有：G

Mm

R2

=mg，所以M=

gR2

G

该星球的密度：ρ=

3v0tanα

2πRtG

；                                  
（3）由

GMm

R2

=m

v2

R

，可得v=

GM R

，
又GM=gR²，所以v=

2v0Rtanα t

；        
（4）绕星球表面运行的卫星具有最小的周期，即：
T=

2πR

v

=2πR

t 2v0Rtanα

故答案为：（1）g=

2v0tanα

t

；（2）该星球的密度ρ=

3v0tanα

2πRtG

；（3）该星球的第一宇宙速度v=

2v0Rtanα t

；（4）人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动的最小周期2πR

t 2v0Rtanα

点评：处理平抛运动的思路就是分解．重力加速度g是天体运动研究和天体表面宏观物体运动研究联系的物理量．