Question

12．如图所示，细绳一端系着质量M=0.6kg的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑小孔吊着质量m=0.3kg的物体，M的中点与圆孔距离为0.2m，并知M和水平面的最大静摩擦力为2N．现使此平面绕中心轴线方向转动，若g=10m/s²且m始终处于静止状态．求：
（1）若物体M恰好不受静摩擦力作用，则平面转动的角速度ω₀为多少？
（2）平面转动的角速度ω在什么范围内，物体M才不会滑动？

Answer 1

分析 （1）物体M不受摩擦力时，M做圆周运动需要的向心力等于m的重力，由此结合牛顿第二定律解答即可；
（2）当M所受的最大静摩擦力沿半径方向向外时，角速度最小，当M所受的最大静摩擦力沿半径向内时，角速度最大，根据牛顿第二定律求出角速度的范围．

解答 解：（1）物体M不受摩擦力时，M做圆周运动需要的向心力等于m的重力，得：
mg=Mω₀²r
解得：ω₀=$\sqrt{\frac{mg}{Mr}}=\sqrt{\frac{0.3×10}{0.6×0.2}}=5rad/s$，
（2）当ω具有最小值时，M有向圆心运动趋势，故水平面对M的静摩擦力方向和指向圆心方向相反，且等于最大静摩擦力2N．根据牛顿第二定律隔离M有：
T-f_m=Mω₁²r
代入数据解得：ω₁=$\sqrt{10}$rad/s
当ω具有最大值时，M有离开圆心趋势，水平面对M摩擦力方向指向圆心，大小也为2N．再隔离M有：
T+f_m=Mω₂²r
代入数据解得：ω=$5\sqrt{2}$rad/s，
则平面转动的角速度ω在$\sqrt{10}$rad/s≤ω≤$5\sqrt{2}$rad/s范围内，物体M才不会滑动．
答：（1）若物体M恰好不受静摩擦力作用，则平面转动的角速度ω₀为5rad/s；
（2）平面转动的角速度ω在$\sqrt{10}$rad/s≤ω≤$5\sqrt{2}$rad/s范围内，物体M才不会滑动．

点评 解决本题的关键搞清圆周运动向心力的来源，抓住临界状态，运用牛顿第二定律进行求解．