Question

2．如图所示，航天器对某表层为液体的行星进行探测，该星球的半径为R，它是由表层为液体、核心为岩体球的两部分组成．其表面液体的厚度为该星球半径的一半，探测器的轨道半径为2R，它绕该星球的周期为T，该星球的中心岩体球的半径为$\frac{R}{2}$，其密度为表层液体的5倍，若万有引力常数为G，不计其它天体的影响，则其表面的液体密度为（　　）

• A． $\frac{8π}{G{T}^{2}}$
• B． $\frac{12π}{3G{T}^{2}}$
• C． $\frac{16π}{G{T}^{2}}$
• D． $\frac{24π}{G{T}^{2}}$

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力求出星球的总质量，再用密度表示出星球的总质量，联立即可求解．

解答 解：航天器绕星球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有
$G\frac{Mm}{（2R）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（2R）$
解得$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}（2R）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$①
设表层的液体密度为ρ，中心岩体的密度为5ρ
M=$5ρ×\frac{4}{3}π（\frac{R}{2}）_{\;}^{3}+ρ（\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}-\frac{4}{3}π（\frac{R}{2}）_{\;}^{3}）$=$2ρπ{R}_{\;}^{3}$②
联立①②得：$ρ=\frac{16π}{G{T}_{\;}^{2}}$，C正确，ABD错误；
故选：C

点评 此题一定明确万有引力提供向心力，会用周期表示向心力，还要知道球体的体积公式及密度公式，同时注意公式间的化简．