Question

19．宇航员在月球表面完成下面实验：在一固定的竖直光滑圆弧轨道内部的最低点，静止一质量为m的小球（可视为质点），如图所示，当给小球水平初速度v₀时，刚好能使小球在竖直平面内做完整的圆周运动．已知圆弧轨道半径为r，月球的半径为R，万有引力常量为G．若在月球表面上发射一颗环月卫星，所需最小发射速度为（　　）

• A． $\frac{{v}_{0}}{5r}$$\sqrt{5Rr}$
• B． $\frac{{v}_{0}^{2}}{5r}$$\sqrt{Rr}$
• C． $\frac{{v}_{0}}{5r}$$\sqrt{Rr}$
• D． $\frac{{v}_{0}^{2}}{5r}$$\sqrt{5Rr}$

Answer 1

分析 小球刚好能在竖直面内做完整的圆周运动，有mg=m$\frac{{{v}_{1}}^{2}}{r}$，小球在光滑圆弧轨道运动的过程中，只有重力做功，机械能守恒，根据机械能守恒得出重力加速度的大小．再根据第一宇宙速度表达式求出最小发射速度．

解答 解：设月球表面重力加速度为g，小球在最高点的速度为 v₁，由机械能守恒定律，小球在从最低点到最高点的过程中，有．
$\frac{1}{2}$mv₀²=mg•2r+$\frac{1}{2}$mv₁²…①
由题意，小球在最高点时，有：mg=m$\frac{{{v}_{1}}^{2}}{r}$…②
联解①②有：g=$\frac{{v}_{0}}{\sqrt{5r}}$
故月球表面最小发射速度为：v₀=$\sqrt{gR}$=$\frac{{v}_{0}}{5r}$$\sqrt{5Rr}$．
故选：A．

点评 解决本题的关键会运用机械能守恒定律定律解题，知道小球在内轨道运动恰好过最高点的临界条件mg=m$\frac{{{v}_{1}}^{2}}{r}$．