Question

19．如图所示，装置BO′O可绕竖直轴O′O转动，可视为质点的小球A与两细线连接后分别系于B、C两点，装置静止时细线AB水平，细线AC与竖直方向的夹角θ=37°．已知小球的质量m，细线AC长l，B点距C点的水平距离和竖直距离相等．（sin37°=$\frac{3}{5}$，cos37°=$\frac{4}{5}$）
（1）当装置处于静止状态时，求AB和AC细线上的拉力大小；
（2）若AB细线水平且拉力等于重力的一半，求此时装置匀速转动的角速度ω₁的大小；
（3）若要使AB细线上的拉力为零，求装置匀速转动的角速度ω的取值范围．

Answer 1

分析 （1）静止时受力分析，根据平衡条件列式求解；
（2）对小球进行受力分析，根据牛顿第二定律列式即可求解；
（3）当细线AB张力为零时，绳子AC拉力和重力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出角速度的范围．

解答 解：（1）受力分析如右图，由平衡条件
T_AB=mgtan37°=0.75mg，${T}_{AC}=\frac{mg}{cos37°}=1.25mg$，
（2）受力分析如（1）问所示，由牛顿第二定律
Tcosθ=mg，
$Tsinθ-{T}_{AB}=m（lsinθ）{{ω}_{1}}^{2}$，
解得 ${ω}_{1}=\sqrt{\frac{5g}{12l}}$．
（3）由题意，当ω最小时绳AC与竖直方向夹角θ₁=37°，
受力分析如右图，$mgtan{θ}_{1}=m（lsin{θ}_{1}）{{ω}_{min}}^{2}$，
得${ω}_{min}=\sqrt{\frac{5g}{4l}}$．
当ω最大时绳AC与竖直方向夹角θ₂=53°，
$mgtan{θ}_{2}=m{{ω}_{max}}^{2}lsin{θ}_{2}$，
得${ω}_{max}=\sqrt{\frac{5g}{3l}}$．
所以ω取值范围为$\sqrt{\frac{5g}{4l}}≤ω≤\sqrt{\frac{5g}{3l}}$．
答：（1）AB和AC细线上的拉力大小分别为0.75mg、1.25mg．
（2）此时装置匀速转动的角速度ω₁的大小为$\sqrt{\frac{5g}{12l}}$．
（3）装置匀速转动的角速度ω的取值范围为$\sqrt{\frac{5g}{4l}}≤ω≤\sqrt{\frac{5g}{3l}}$．

点评 本题考查了共点力平衡和牛顿第二定律的基本运用，解决本题的关键理清小球做圆周运动的向心力来源，确定小球运动过程中的临界状态，运用牛顿第二定律进行求解．