Question

10．两根相距为L的足够长的金属直角导轨如图所示放置，它们各有一边在同一水平面内，另一边垂直于水平面．质量均为m的金属细杆ab、cd与导轨垂直接触形成闭合回路，杆与水平和竖直导轨之间有相同的动摩擦因数μ，导轨电阻不计，回路总电阻为2R，整个装置处于磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场中．当ab杆在平行于水平导轨的拉力作用下沿导轨向右匀速运动时，cd杆也正好以某一速度向下做匀速运动，设运动过程中金属细杆ab、cd与导轨接触良好，重力加速度为g，求：
（1）ab杆匀速运动的速度v₁；
（2）ab杆所受拉力F；
（3）ab杆以v₁匀速运动时，cd杆以v₂（v₂已知）匀速运动，则在cd杆向下运动h过程中，整个回路中产生的焦耳热．

Answer 1

分析 （1）根据法拉第电磁感应定律，求出感应电动势大小；再由左手定则，来判定安培力的方向，根据受力平衡，即可求解；
（2）对ab杆受力分析，从  而由平衡方程，即可求解；
（3）根据ab杆匀速运动，可求出运动的距离；再由整个过程中运用能量守恒，可得出，焦耳热等于克服安培力所做的功，即可求解．

解答 解：（1）ab杆向右运动时，ab杆中产生的感应电流方向为a→b，感应电动势大小为E=BLv₁
cd杆中的感应电流方向为d→c．cd杆受到的安培力方向水平向右       
安培力大小为${F}_{安}=BIL=BL\frac{BL{v}_{1}}{2R}=\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{2R}$
cd杆向下匀速运动，有mg=μF_安②
解①、②两式，ab杆匀速运动的速度为${v}_{1}=\frac{2Rmg}{μ{B}^{2}{L}^{2}}$
（2）ab杆所受拉力$F={F}_{安}+μmg=\frac{mg}{μ}+μmg$=$\frac{1+{μ}^{2}}{μ}mg$
（3）设cd杆以v₂速度向下运动h过程中，ab杆匀速运动了s距离
由$\frac{s}{{v}_{1}}=\frac{h}{{v}_{2}}$得：$s=\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}h$
整个回路中产生的焦耳热等于克服安培力所做的功
解得：$Q={F}_{安}s=\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{2R}S$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}^{2}h}{2R{v}_{2}}$=$\frac{2{m}^{2}{g}^{2}hR}{{μ}^{2}{B}^{2}{L}^{2}{v}_{2}}$．
答：（1）ab杆匀速运动的速度v₁为$\frac{2Rmg}{μ{B}^{2}{L}^{2}}$；
（2）ab杆所受拉力F为=$\frac{1+{μ}^{2}}{μ}mg$；
（3）在cd杆向下运动h过程中，整个回路中产生的焦耳热为$\frac{2{m}^{2}{g}^{2}hR}{{μ}^{2}{B}^{2}{L}^{2}{v}_{2}}$．

点评 考查法拉第电磁感应定律、左手定则、平衡方程、能量守恒定律等规律的应用，强调受力分析的正确性，同时突出克服安培力所做的功等于产生的焦耳热．